수학에서 동치관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다.
집합 위의 동치관계 는 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계인 이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.
- (반사관계) 임의의 에 대하여,
- (대칭관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면,
- (추이관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면
동치류와 상집합
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- 임의의 집합 위의 등호 관계
- 도형 집합 위의 닮음 관계
- 사람들의 집합 위의, 같은 생일을 갖는 관계
- 공집합이 아닌 집합 위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다.
- 실수 집합 위의 순서 관계 는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다.
- 실수 집합 위의 이항관계 은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다.
표준 사상
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집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합 위의 동치관계 에 대하여, 함수
-
-
를 표준사상이라고 한다.
반대로, 전사함수 에 대하여, 이항관계
-
는 동치관계이며, 그 상집합은
-
이다.
집합의 분할
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집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다.
집합 위의 동치관계 에 대하여, 그 상집합 은 의 분할이다. 즉,
- 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
- 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
반대로, 집합 의 분할 에 대하여, 이항관계
-
는 동치관계이다.
같이 보기
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외부 링크
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