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기본 동치

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모형 이론에서, 기본 동치(基本同値, 영어: elementary equivalence)는 두 구조가 같은 1차 논리 문장들을 만족시키는 관계이다.

정의편집

같은 언어의 구조  ,  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립하면   이 서로 기본 동치라고 한다.

  • 모든 1차 논리 문장 (자유 변수가 없는 공식)  에 대하여,  
  • 모든 1차 논리 문장 (자유 변수가 없는 공식)  에 대하여,  
  • 모든 1차 논리 문장 (자유 변수가 없는 공식)  에 대하여,  

같은 언어에 대한 구조    사이의 기본 매장(基本埋藏, 영어: elementary embedding)은 다음 성질을 만족시키는 함수

 

이다.

  •  개의 자유 변수  를 갖는 임의의 1차 논리 공식   및 임의의  에 대하여, 만약  라면  이다.

만약  이고 부분 집합 포함 함수가 기본 매장을 이룬다면,   기본 부분 구조(基本部分構造, 영어: elementary substructure)라고 한다.

성질편집

구조의 기본 동치는 동치 관계이다.

기본 매장은 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 단사 함수이다. 이는 1차 논리가 등호를 포함하며, 따라서  이기 때문이다.
  • 강준동형사상이다.
  • 기본 동치이다.

같은 언어에 대한 두 구조  ,  에 대하여,  이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 기본 부분 구조이다.
  • (타르스키-보트 조건 영어: Tarski–Vaught criterion) 임의의  개 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식   에 대하여,   이 존재한다.

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워시 정리에 따라, 어떤 모형  과 그 초거듭제곱  은 서로 기본 동치이다.

하나의 이항 관계  의 구조로서, 유리수의 집합  실수의 집합  는 서로 기본 동치이다. 그러나 이들은 순서체의 언어  의 구조로는 서로 기본 동치가 아니다.

실수체  초실수체  는 순서체의 언어의 구조로서 서로 기본 동치이다.

외부 링크편집