가군의 깊이

가환대수학에서 깊이(영어: depth)는 가군의 “크기”를 측정하는 정수이다. 국소환의 경우 이는 크룰 차원 이하이며, 사영 차원과 깊은 관계를 갖는다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$
• $R$의 유한 생성 가군 $M$. 또한, ${\mathfrak {a}}M\subsetneq M$이라고 하자.

그렇다면 다음 두 정수가 서로 같으며, 이를 $M$의 ${\mathfrak {a}}$-깊이(영어: ${\mathfrak {a}}$-depth) $\operatorname {depth} _{\mathfrak {a}}(M)$라고 한다.

• $\min\{n\colon \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {a}},M)\neq 0\}$. 즉, Ext 함자가 0이 아니게 되는 가장 작은 차수^{:450, Proposition 18.4}
• ${\mathfrak {a}}$에 포함된 $M$의 정칙렬의 최대 길이^:425

성질

가환 뇌터 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 위의 유한 생성 가군 $M$의 경우, 그 깊이는 크룰 차원 이하이다.

$\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M\leq \dim _{R}M$

또한, 다음이 성립한다.

• $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=0\iff {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} _{R}M$

여기서 $\operatorname {Ass} _{R}M\subseteq \operatorname {Spec} R$은 $M$의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

오슬랜더-북스바움 공식

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$
• $R$ 위의 유한 생성 가군 $M$. 또한, $-\infty <\operatorname {pd} _{R}M<\infty$이라고 하자 ($\operatorname {pd}$는 사영 차원).

그렇다면 다음이 성립한다 (오슬랜더-북스바움 공식 영어: Auslander–Buchsbaum formula).^{:Theorem 3.7}

$\operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R$

외부 링크

• “Depth of a module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Depth of an ideal”. 《Commalg》 (영어).