Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의

Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.

• Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
• 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
• 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.

대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

완전열을 통한 정의

0차 Ext

임의의 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}(-,-)=\hom _{\mathcal {A}}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$

1차 Ext

임의 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 대상 $A,B\in {\mathcal {A}}$에 대하여, $A$의 $B$에 대한 확대(영어: extension of $A$ by $B$)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

$0\to B\to X\to A\to 0$

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $X\to X'$이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.

${\begin{matrix}0\to &B&\to &X&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow \scriptstyle \wr &&\|\\0\to &B&\to &X'&\to &A&\to 0\end{matrix}}$

(이 사상 $X\to X'$은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^{:78, Definition 3.4.4} 두 확대 $0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0$, $0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0$가 주어졌을 때, $Y$를 $X$와 $X'$의 $A$에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

$X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi (x)=\pi '(x)\}\supseteq \iota (B)\oplus \iota '(B)$

즉, $Y$는 $B$를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 $\operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B$사용하여, $Y$의 몫대상

$X''={\frac {Y}{\left((\iota ,-\iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\right)(B)}}$

을 정의할 수 있다. 이는 $Y$ 속에 존재하는 두 개의 $B$를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

$0\to B\to X''\to A\to 0$

는 짧은 완전열을 이룬다. $0\to X\to X''\to A\to 0$의 동치류를 $0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0$, $0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0$의 동치류의 베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 $0\to B\to A\oplus B\to A\to 0$이며, 확대 $0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0$의 베어 합에 대한 역원은 $0\to B{\xrightarrow {-\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0$ 또는 $0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {-\pi }}A\to 0$이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

${\mathcal {A}}$ 속의 대상 $A,B\in {\mathcal {A}}$에 대하여, 1차 Ext 함자 $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,B)$는 $A$의 $B$에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$

를 정의한다. 또한, 각 $A\in {\mathcal {A}}$에 대하여

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.^{:131, Exercise 6.A} 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

고차 Ext

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^{:79–80, Vista 3.4.6:82–87, §III.5}

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {A}}$ 속의 대상 $A$, $B$에 대하여, $A$의 $B$에 대한 $n$차 확대(영어: $n$-fold extension of $A$ by $B$)는 다음과 같은 완전열이다.

$0\to B\to X_{n}\to X_{n-1}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0$

두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B',X_{\bullet }',A')$ 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, $(B,X_{\bullet },A)$가 $(B',X_{\bullet }',A')$의 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다.

${\begin{matrix}0\to &B&\to &X_{n}&\to &\cdots &\to &X_{1}&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\|\\0\to &B'&\to &X_{n}'&\to &\cdots &\to &X_{1}'&\to &A'&\to 0\end{matrix}}$

닮음 관계를 $(B,X_{\bullet },A)\prec (B',X_{\bullet }',A')$로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B',X_{\bullet }',A')$ 사이에 다음과 같은 $n$차 확대들의 열

$(B,X_{\bullet },A)=(B^{(0)},X_{\bullet }^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_{\bullet }^{(1)},A^{(1)}),\dots ,(B^{(k)},X_{\bullet }^{(k)},A^{(k)})=(B',X_{\bullet }',A')$

이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, $(B,X_{\bullet },A)$와 $(B',X_{\bullet }',A')$가 서로 동치라고 하자.

모든 $i=1,2,\dots ,k$에 대하여, $(B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})$이거나 또는 $(B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})\prec (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})$이다.

사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $(B,X_{\bullet },A)$와 $(B',X_{\bullet }',A')$가 서로 동치이다.
• $(B,X_{\bullet },A)\prec (B'',X_{\bullet }'',A'')\succ (B',X_{\bullet }',A')$인 $n$차 확대 $(B'',X_{\bullet }'',A'')$가 존재한다.
• $(B,X_{\bullet },A)\succ (B'',X_{\bullet }'',A'')\prec (B',X_{\bullet }',A')$인 $n$차 확대 $(B'',X_{\bullet }'',A'')$가 존재한다.

그렇다면, $n$차 Ext 함자 $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)$는 $A$의 $B$에 대한 $n$차 확대들의 동치류 집합이다.

두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B',X_{\bullet }',A')$가 주어졌을 때, $Y_{i}$를 다음과 같이 정의하자.

• $i=1$일 때, $Y_{1}$은 $X_{1}$과 $X_{1}'$의 $A$에 대한 당김이다.
• $1<i<n$일 때, $Y_{i}=X_{1}\oplus X_{1}'$이다.
• $i=n$일 때, $X_{n}{\xrightarrow {f}}{\tilde {Y}}{\xleftarrow {f'}}X_{n}'$를 $B{\xrightarrow {\iota }}X_{n}$과 $B{\xrightarrow {\iota '}}X_{n}$의 $B$에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 $\operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B$를 사용하여, $(f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\colon B\to {\tilde {Y}}$를 정의할 수 있다. 그렇다면, $Y_{n}={\tilde {Y}}/((f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B})(B)$이다.

그렇다면 $(B,Y_{\bullet }',A)$는 $n$차 확대를 이룬다. $(B,X_{\bullet },A)$의 동치류와 $(B',X_{\bullet }',A')$의 동치류의 합을 $(B,Y_{\bullet }',A)$의 동치류로 정의하자.

$[(B,X_{\bullet },A)]+[(B',X_{\bullet }',A')]=[(B,Y_{\bullet }',A)]$

그렇다면, 이 합에 대하여 $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)$는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$

를 이루며, 각 $A\in {\mathcal {C}}$에 대하여

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$

둘 다 가법 함자를 이룬다.

요네다 합성

Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 대상 $A,B,C\in {\mathcal {A}}$에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 $\otimes$는 아벨 군의 텐서곱이다.)

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)\otimes \hom _{\mathcal {A}}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)$

$\hom _{\mathcal {A}}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)$

이는 $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}$와 $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}$를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.^{:82–87, §III.5}

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m+n}(A,C)$

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

$0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\pi }}B\to 0\qquad (m\geq 1)$

$0\to B{\xrightarrow {\iota }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0\qquad (m\geq 1)$

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

$0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\iota \circ \pi }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0$

그렇다면 $(A,X_{\bullet },B)$의 동치류와 $(B,Y_{\bullet },C)$의 동치류의 요네다 합성은 $(A,X_{\bullet },Y_{\bullet },C)$의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 $\operatorname {GrAb} _{\mathbb {N} }$ 위의 풍성한 범주 $\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$의 대상은 ${\mathcal {A}}$의 대상과 같다.
• $\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.

  $\hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,B)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)$

• $\operatorname {Ext} ({\mathcal {A}}$에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
• $\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$에서 항등 사상은 ${\mathcal {A}}$에서의 항등 사상과 같다.

$\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, $\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}$만 남으므로 원래 범주 ${\mathcal {A}}$를 얻는다.

특히, 대상 $A\in {\mathcal {A}}$에 대하여, $\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}$에서의 자기 사상 등급 아벨 군

$\hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,A)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,A)$

은 자연수 등급환을 이룬다.

유도 함자를 통한 정의

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 대상 $A\in {\mathcal {A}}$에 대하여,

$\hom _{\mathcal {A}}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$

는 왼쪽 완전 함자이며,

$\hom _{\mathcal {A}}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$

는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 ${\mathcal {A}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 $\hom _{\mathcal {A}}(A,-)$의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,-)=\operatorname {R} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(A,-)$

만약 ${\mathcal {A}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 $\hom _{\mathcal {A}}(-,A)$의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(-,A)=\operatorname {L} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(-,A)$

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 $R{\text{-Mod}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(-,-)$로 표기한다.

유도 범주를 통한 정의

Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {A}}$의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, ${\mathcal {A}}$는 사슬 복합체 범주 $\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

${\mathcal {A}}$ 속의 사슬 복합체 $A$에 대하여,

$A[i]^{\bullet }=X^{\bullet +i}$

$d_{A[i]}=(-1)^{n}d|_{A}$

로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 $\deg d=+1$이다.) 또한, ${\mathcal {A}}$의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {A}}$의 두 대상 $A,B\in {\mathcal {A}}$에 대한 $n$차 Ext 함자는 유도 범주 $\operatorname {D} ({\mathcal {A}})$의 다음과 같은 사상군이다.

$\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)=\hom _{\operatorname {D} ({\mathcal {A}})}(A,B[i])$

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질

만약 $M$이 사영 가군이거나 $N$이 단사 가군이라면,

$\operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N)=0\qquad \forall n>0$

이다. 또한, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\prod _{j\in J}N_{j}\right)\cong \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(M_{i},N_{j})$

예

벡터 공간

체 $K$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 $V$의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

$0\to V\to I^{0}=V\to 0$

$0\to P^{0}=V\to V\to 0$

따라서, $K$ 위의 벡터 공간 $V$, $W$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

$\operatorname {Ext} _{K}^{0}(V,W)=\hom(V,W)$

$\operatorname {Ext} _{K}^{n}(V,W)=0\qquad \forall n>0$

아벨 군

정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 $G$는 자유 아벨 군 $P^{0}$의 몫군 $P^{0}/P^{1}$으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

$0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0$

마찬가지로, 임의의 아벨 군 $G$는 나눗셈군 $I^{0}$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

$0\to G\to I^{0}\to I^{1}\to 0$

아벨 군 $G$, $H$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. $G$의 사영 분해가 $G\cong P^{0}/P^{1}$이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

$0\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H){\xrightarrow {\operatorname {res} }}\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)\to 0$

여기서 $\operatorname {res} \colon \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H)\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)$은 포함 사상 $P^{1}\hookrightarrow P^{0}$으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서,

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(G,H)$

이며,

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)/\operatorname {res} (\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H))$

는 군의 확대

$0\to H\to E\to G\to 0$

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(G,H)=0\qquad \forall n\geq 2$

또한, 임의의 나눗셈군 $H$에 대하여

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)=0$

이다. 특히, 유리수의 군 $\mathbb {Q}$나 그 몫군 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$은 나눗셈군이므로

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} )=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=0$

이다.

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)=\hom _{\operatorname {Ab} }(G,H)$

$G\backslash H$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /(n)$	$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /(n)$	$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Z} /(m)$	0	$\mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})$	0
$\mathbb {Q}$	0	0	$\mathbb {Q}$

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)$

$G\backslash H$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /(n)$	$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Z}$	0	0	0
$\mathbb {Z} /(m)$	$\mathbb {Z} /(m)$	$\mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})$	0
$\mathbb {Q}$	$\mathbb {Q} ^{\oplus 2^{\aleph _{0}}}$	0	0

리 대수 코호몰로지

 이 부분의 본문은 리 대수 코호몰로지입니다.

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

층 코호몰로지

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.

$\operatorname {H} ^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Ext} ^{\bullet }({\underline {\mathbb {Z} }},{\mathcal {F}})$

여기서

• Ext 함자는 $X$ 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
• ${\underline {\mathbb {Z} }}$는 정수환 값의 상수층이다.

스킴 $X$ 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

어원

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 $G$를 다른 아벨 군 $H$로 확대한다면, 가능한 확대들은 $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)$와 일대일 대응한다.

같이 보기

• Tor 함자
• 그로텐디크 군
• 호몰로지 차원

참고 문헌

• Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3. 
• 李起安 (1972). “現代數學과 Homology 代數” (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 9 (2): 83–99. ISSN 1015-8634. 

외부 링크

• “Extension of a module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Baer multiplication”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ext”. 《nLab》 (영어). 
• “How to make Ext and Tor constructive” (영어). Math Overflow.