다각수

삼각수와 정다각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수

수학에서, 다각수(多角數, 영어: polygonal number)는 삼각수정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수이다. 기하학적으로, 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타낸다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 두 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 된다. 이 경우 늘리려는 두 변에 각각 한 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가된다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬(영어: gnomon)이라고 부른다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열부분합을 나타내며, 그노몬은 이 등차 수열의 각 항에 대응한다.

정의편집

자연수   이 주어졌을 때,  번째  각수( 角數, 영어:  -gonal number)  은 다음과 같이 정의된다.

 

특히,

  •  삼각수라고 한다. 1~5번째 삼각수는 다음과 같다 (빨간색 부분은 그노몬을 나타낸다).
     
  •  정사각수라고 한다. 1~5번째 사각수는 다음과 같다.
     
  •  오각수라고 한다. 1~5번째 오각수는 다음과 같다.
     
  •  육각수라고 한다. 1~5번째 육각수는 다음과 같다.
     

성질편집

점화식편집

다음과 같은 점화식이 성립한다.

 

생성 함수편집

다각수의 생성 함수는 다음과 같다.

 

페르마 다각수 정리편집

임의의 자연수는 많아도  개의  각수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 자연수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  이 존재한다.

 

이를 페르마 다각수 정리라고 한다. (만약  에 대하여  개의  각수로 나타내려면  을 취하면 된다.)

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주어진 자연수  에 대하여,  각수는 다음과 같다.

  명칭   처음 20항 ( ) OEIS
3 삼각수   0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ... A000217
4 사각수   0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, ... A000290
5 오각수   0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ... A000326
6 육각수   0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ... A000384
7 칠각수   0, 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, ... A000566
8 팔각수   0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, A000567
9 구각수(九角數, 영어: nonagonal number)   0, 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, ... A001106
10 십각수(十角數, 영어: decagonal number)   0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, ... A001107
11 십일각수(十一角數, 영어: hendecagonal number)   0, 1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415, 506, 606, 715, 833, 960, 1096, 1241, 1395, 1558, ... A051682
12 십이각수(十二角數, 영어: dodecagonal number)   0, 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, ... A051624
13 십삼각수(十三角數, 영어: tridecagonal number)   0, 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505, 616, 738, 871, 1015, 1170, 1336, 1513, 1701, 1900, ... A051865
14 십사각수(十四角數, 영어: tetradecagonal number)   0, 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550, 671, 804, 949, 1106, 1275, 1456, 1649, 1854, 2071, ... A051866
15 십오각수(十五角數, 영어: pentadecagonal number)   0, 1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595, 726, 870, 1027, 1197, 1380, 1576, 1785, 2007, 2242, ... A051867
16 십육각수(十六角數, 영어: hexadecagonal number)   0, 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640, 781, 936, 1105, 1288, 1485, 1696, 1921, 2160, 2413, ... A051868
17 십칠각수(十七角數, 영어: heptadecagonal number)   0, 1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685, 836, 1002, 1183, 1379, 1590, 1816, 2057, 2313, 2584, ... A051869
18 십팔각수(十八角數, 영어: octadecagonal number)   0, 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730, 891, 1068, 1261, 1470, 1695, 1936, 2193, 2466, 2755, ... A051870
19 십구각수(十九角數, 영어: nonadecagonal number)   0, 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775, 946, 1134, 1339, 1561, 1800, 2056, 2329, 2619, 2926, ... A051871
20 이십각수(二十角數, 영어: Icosagonal number)   0, 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820, 1001, 1200, 1417, 1652, 1905, 2176, 2465, 2772, 3097, ... A051872
21 이십일각수(二十一角數, 영어: icosihenagonal number)   0, 1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865, 1056, 1266, 1495, 1743, 2010, 2296, 2601, 2925, 3268, ... A051873
22 이십이각수(二十二角數, 영어: icosidigonal number)   0, 1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910, 1111, 1332, 1573, 1834, 2115, 2416, 2737, 3078, 3439, ... A051874
23 이십삼각수(二十三角數, 영어: icositrigonal number)   0, 1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955, 1166, 1398, 1651, 1925, 2220, 2536, 2873, 3231, 3610, ... A051875
24 이십사각수(二十四角數, 영어: icositetragonal number)   0, 1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000, 1221, 1464, 1729, 2016, 2325, 2656, 3009, 3384, 3781, ... A051876
25 이십오각수(二十五角數, 영어: icosipentagonal number)   0, 1, 25, 72, 142, 235, 351, 490, 652, 837, 1045, 1276, 1530, 1807, 2107, 2430, 2776, 3145, 3537, 3952, ... A255184
26 이십육각수(二十六角數, 영어: icosihexagonal number)   0, 1, 26, 75, 148, 245, 366, 511, 680, 873, 1090, 1331, 1596, 1885, 2198, 2535, 2896, 3281, 3690, 4123, ... A255185
27 이십칠각수(二十七角數, 영어: icosiheptagonal number)   0, 1, 27, 78, 154, 255, 381, 532, 708, 909, 1135, 1386, 1662, 1963, 2289, 2640, 3016, 3417, 3843, 4294, ... A255186
28 이십팔각수(二十八角數, 영어: icosioctagonal number)   0, 1, 28, 81, 160, 265, 396, 553, 736, 945, 1180, 1441, 1728, 2041, 2380, 2745, 3136, 3553, 3996, 4465, ... A161935
29 이십구각수(二十九角數, 영어: icosinonagonal number)   0, 1, 29, 84, 166, 275, 411, 574, 764, 981, 1225, 1496, 1794, 2119, 2471, 2850, 3256, 3689, 4149, 4636, ... A255187
30 삼십각수(三十角數, 영어: triacontagonal number)   0, 1, 30, 87, 172, 285, 426, 595, 792, 1017, 1270, 1551, 1860, 2197, 2562, 2955, 3376, 3825, 4302, 4807, ... A254474

역사편집

일반적인 다각수는 힙시클레스(그리스어: Ὑψικλῆς)가 기원전 2세기에 처음 정의하였다.

외부 링크편집