주 메뉴 열기

닮음 (기하학)

기하학적 관점에서 두 도형이 크기에 관계 없이 모양이 같을 때를 이르는 말. 크기까지 같은 합동의 경우를 포함
닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.

기하학에서, 닮음(영어: similarity)은 유클리드 공간의 모든 을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮음 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이가 비례하는 것이다. 또한, 모든 , , 정다각형, 정다면체는 각각 서로 닮음이다.

정의편집

양의 실수 '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'가 주어졌다고 하자.

비 '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'의 닮음(영어: similarity with ratio '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"')는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'이다.

  • 임의의 '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'에 대하여, '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"'

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.[1]:171

중심닮음편집

 
중심닮음을 취한 오각형

점 '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' 및 실수 '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'가 주어졌다고 하자.

중심 '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' 및 비 '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'의 중심닮음(호모세티)(영어: central similarity (homothety) with center '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"' and ratio '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"')은 다음과 같은 함수이다.

'"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'

성질편집

아핀 변환 '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:172

  • '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'는 닮음이다.
  • (각의 보존) 임의의 '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'에 대하여, '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'
  • (직각의 보존) 임의의 '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'에 대하여, '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"'라면, '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'

비 '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'의 닮음은 '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'차원 도형의 초부피를 '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'배 확대(축소)한다.

비가 '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"'인 중심닮음은 비가 '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'인 닮음이다. 이는 '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'일 경우 방향을 보존하며, '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"'일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'의 닮음이 고정점 '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"'을 가진다면, 이는 중심 '"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"' 및 비 '"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"'의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"'일 경우 '"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"'이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다.[1]:171

삼각형의 닮음편집

두 삼각형 '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"'와 '"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"'의 닮음은 기호로 '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"'와 같이 표기한다.

두 삼각형 '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"' 및 '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"'에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

  • '"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"'. 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
  • '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"'. 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음(영어: SSS similarity)이라고 한다.
  • '"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"'이며 '"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"'. 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음(영어: SAS similarity)이라고 한다.
  • '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'이며 '"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"'. 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음(영어: AA similarity)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 '"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"'라면, 넓이의 비는 '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"'이다.

편집

모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면 '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' 위에서, 원점 '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

'"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'

같이 보기편집

각주편집

  1. 모듈:Citation/CS1/Identifiers 1019번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'IdAccessLevels' (a nil value).

외부 링크편집

  • 모듈:Citation/CS1/Identifiers 1019번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'IdAccessLevels' (a nil value).
  • 모듈:Citation/CS1/Identifiers 1019번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'IdAccessLevels' (a nil value).