닮음 (기하학)

기하학적 관점에서 두 도형이 크기에 관계 없이 모양이 같을 때를 이르는 말. 크기까지 같은 합동의 경우를 포함

기하학에서, 닮음(영어: similarity)은 유클리드 공간의 모든 을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮음 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이가 비례하는 것이다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 , 두 직각이등변삼각형, 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 정다각형, 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 부채꼴, 두 , 면의 개수가 같은 두 정다면체 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

정의편집

양의 실수  가 주어졌다고 하자.

 의 닮음(영어: similarity with ratio  )는 다음 두 조건을 만족시키는 함수  이다.

  • 임의의  에 대하여,  

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.[1]:171

중심닮음편집

 
중심닮음을 취한 오각형

  및 실수  가 주어졌다고 하자.

중심   및 비  의 중심닮음(호모세티)(영어: central similarity (homothety) with center   and ratio  )은 다음과 같은 함수이다.

 
 

성질편집

아핀 변환  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:172

  •  는 닮음이다.
  • (각의 보존) 임의의  에 대하여,  
  • (직각의 보존) 임의의  에 대하여,  라면,  

 의 닮음은  차원 도형의 초부피를  배 확대(축소)한다.

비가  인 중심닮음은 비가  인 닮음이다. 이는  일 경우 방향을 보존하며,  일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비  의 닮음이 고정점  을 가진다면, 이는 중심   및 비  의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가  일 경우  이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다.[1]:171

삼각형의 닮음편집

두 삼각형   의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다.  와 같이 표기한다.

두 삼각형   에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

  •  . 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
  •  . 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음(영어: SSS similarity)이라고 한다.
  •  이며  . 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음(영어: SAS similarity)이라고 한다.
  •  이며  . 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음(영어: AA similarity)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두  라면, 넓이의 비는  이다.

편집

모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면   위에서, 원점  을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

 

같이 보기편집

각주편집

  1. Borceux, Francis (2014). 《An Algebraic Approach to Geometry》 (영어). Switzerland: Springer. doi:10.1007/978-3-319-01733-4. ISBN 978-3-319-01732-7. 

외부 링크편집