덧셈

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

덧셈은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 두 개의 수를 받아 한 개의 수를 계산하는 이항 연산이다. 반대되는 연산은 뺄셈이다. 현대 수학에서는 덧셈을 나타내는 기호로 더하기표(+)를 쓴다.

덧셈 기호

받아올림

 이 부분의 본문은 받아올림입니다.

두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 27 + 59를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.

  ¹
  27
+ 59
————
  86

수의 덧셈

덧셈은 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 정의역에 따라 다르게 정의할 수 있다.

자연수

자연수 집합에 0을 추가한 집합 $\mathbb {N} ^{+}$에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• $n+0=n$,
• $n+m'=(n+m)'$, 여기에서 a'은 a의 다음 자연수.

임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 $n\in \mathbb {N} ^{+}$의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

정수

두 정수를 각각 자연수의 차 $n=a-b$, $m=c-d$로 표현할 때 ($a$, $b$, $c$, $d$는 자연수), 정수의 합은 $n+m=(a+c)-(b+d)$으로 정의한다. 이때, $a+c$와 $b+d$는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

유리수

유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 ${\frac {a}{b}}$, ${\frac {c}{d}}$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 정수이고 $b$와 $d$는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다.

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, ${\frac {2}{5}}+{\frac {3}{4}}={\frac {2\cdot 4+3\cdot 5}{4\cdot 5}}={\frac {23}{20}}$이다.

실수

실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 $r=\lim _{n\to \infty }a_{n}$, $s=\lim _{n\to \infty }b_{n}$($\{a_{n}\},\{b_{n}\}$은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 $r+s=\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})$으로 정의한다.

복소수

복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ ($a,b,c,d$는 실수)에 대해, 복소수의 합은 $z+w=(a+c)+(b+d)i$으로 정의한다. 이때 $a+c,b+d$는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

소수의 덧셈

소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

성질

교환법칙

덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $a,b$에 대해

$a+b=b+a\,$

가 성립한다.

결합법칙

덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $a$, $b$, $c$에 대해

$a+(b+c)=(a+b)+c\,$

가 성립한다. 결합법칙에 의해, $a+b+c$라는 표현은 $(a+b)+c$ 와 $a+(b+c)$ 중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.

항등원

덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 $a$에 대해

$a+0=0+a=a\,$

가 성립한다.

곱셈과의 관계

같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.