데데킨트 에타 함수
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수학에서 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타
정의
편집열린 상반평면을 라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 는 다음과 같은 함수이다.
- .
보통 를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.
- .
성질
편집데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.
함수 방정식
편집데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.[1]
- .
보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환
- ( , )
에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.
- .
여기서
- ( 인 경우)
- ( 인 경우)
여기서
를 데데킨트 합(Dedekind sum)이라고 한다.
특별한 값
편집함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.
여기서 는 감마 함수이다.
같이 보기
편집각주
편집- ↑ Siegel, Carl Ludwig (1954년 6월). “A simple proof of ”. 《Mathematika》 1 (1): 4–4. doi:10.1112/S0025579300000462.
|제목=
에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말)
- Köhler, Günter. 《Eta products and theta series identities》 (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-642-16152-0. ISBN 978-3-642-16151-3. ISSN 1439-7382.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dedekind Eta Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- 이철희. “데데킨트 에타함수”. 《수학노트》.