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데데킨트 에타 함수

데데킨트 에타 함수의 그래프

수학에서, 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타

정의편집

열린 상반평면 라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수  는 다음과 같은 함수이다.

 .

보통  를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.

 .

성질편집

데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.

함수 방정식편집

데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군  에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.[1]

 
 .

보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환

  ( ,  )

에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

 .

여기서

  ( 인 경우)
  ( 인 경우)

여기서

 

데데킨트 합(Dedekind sum)이라고 한다.

특별한 값편집

함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.

 
 
 
 

여기서  감마 함수이다.

함께보기편집

참고 문헌편집

  1. Siegel, Carl Ludwig (1954년 6월). “A simple proof of  ”. 《Mathematika》 1 (1): 4–4. doi:10.1112/S0025579300000462.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말)

외부 링크편집