무어 복합체
편집
다음이 주어졌다고 하자.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
준단체 대상
M
∙
:
△
pre
op
→
A
{\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
이제, 다음을 정의하자.
C
n
(
M
)
=
M
n
(
n
∈
N
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{n}(M)=M_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
∂
n
=
∑
i
=
0
n
(
−
)
i
∂
n
,
i
M
i
(
n
∈
N
)
{\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}M_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
그렇다면,
(
C
∙
(
M
)
,
∂
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {C} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}
은 사슬 복합체 를 이루며, 이를 준단체 대상
M
∙
{\displaystyle M_{\bullet }}
의 무어 사슬 복합체 (영어 : Moore chain complex )라고 한다.[2] :45, Definition 1.6.2
증명 :
편의상 집합
S
=
{
0
,
…
,
n
−
1
}
×
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}}
및
S
+
=
{
(
i
,
j
)
∈
S
:
i
<
j
}
{\displaystyle S_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}}
S
−
=
{
(
i
,
j
)
∈
S
:
i
≥
j
}
{\displaystyle S_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}}
을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수
S
+
→
S
−
{\displaystyle S_{+}\to S_{-}}
(
j
,
i
+
1
)
↦
(
i
,
j
)
{\displaystyle (j,i+1)\mapsto (i,j)}
가 존재한다.
그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.
∂
n
−
1
∘
∂
n
=
∑
(
i
,
j
)
∈
S
∂
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
=
∑
(
i
,
j
)
∈
S
+
(
−
)
i
+
j
∂
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
+
∑
(
i
,
j
)
∈
S
−
(
−
)
i
+
j
∂
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
=
∑
(
i
,
j
)
∈
S
−
(
(
−
)
j
+
i
−
1
∂
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
+
(
−
)
i
+
j
∂
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n-1}\circ \partial _{n}&=\sum _{(i,j)\in S}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\right)=0\end{aligned}}}
사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상
편집
다음이 주어졌다고 하자.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 자연수 등급 사슬 복합체
⋯
→
C
2
→
∂
2
C
1
→
∂
1
C
0
→
0
{\displaystyle \dotsb \to C_{2}{\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{0}\to 0}
이제,
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
에 다음과 같은 준단체 대상 의 구조를 줄 수 있다.
M
(
n
)
=
C
n
{\displaystyle M(n)=C_{n}}
M
(
∂
n
,
i
)
:
C
n
→
C
n
−
1
{\displaystyle M(\partial _{n,i})\colon C_{n}\to C_{n-1}}
M
(
∂
n
,
i
)
=
{
0
0
≤
i
≤
n
−
1
(
−
)
n
∂
n
i
=
n
{\displaystyle M(\partial _{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial _{n}&i=n\end{cases}}}
퇴화 복합체와 정규화 복합체
편집
다음이 주어졌다고 하자.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
단체 대상
M
∙
:
△
op
→
A
{\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
이제, 다음을 생각하자.
f
n
:
∐
i
=
0
n
−
1
s
n
,
i
:
M
n
−
1
⊕
n
→
M
n
{\displaystyle f_{n}\colon \coprod _{i=0}^{n-1}s_{n,i}\colon M_{n-1}^{\oplus n}\to M_{n}}
g
n
:
∏
i
=
0
n
−
1
∂
n
,
i
:
M
n
→
M
n
+
1
⊕
n
{\displaystyle g_{n}\colon \prod _{i=0}^{n-1}\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}^{\oplus n}}
(※
g
n
{\displaystyle g_{n}}
에서, 합이
i
=
n
{\displaystyle i=n}
을 포함하지 않는다.)
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
D
∙
(
M
)
=
im
f
n
{\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)=\operatorname {im} f_{n}}
N
∙
(
M
)
=
ker
g
n
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)=\ker g_{n}}
그렇다면,
(
D
∙
(
M
)
,
∂
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {D} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}
와
(
N
∙
(
M
)
,
∂
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {N} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}
둘 다 역시 사슬 복합체 를 이룬다.
D
∙
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)}
을 퇴화 사슬 복합체 (退化사슬複合體, 영어 : degenerate chain complex )라고 하며,
N
∙
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)}
을 정규화 사슬 복합체 (正規化사슬複合體, 영어 : normalized chain complex )라고 한다.
퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:
퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
∂
n
+
1
∘
s
n
,
i
=
∑
j
=
0
n
s
n
,
j
∘
ϕ
i
,
j
{\displaystyle \partial _{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^{n}s_{n,j}\circ \phi _{i,j}}
여기서
ϕ
i
,
j
{\displaystyle \phi _{i,j}}
는 임의의 사상이다.
그런데
∂
n
+
1
∘
∘
s
n
,
i
=
∑
j
=
0
n
+
1
(
−
)
j
∂
n
+
1
,
j
∘
s
n
,
i
=
∑
j
=
0
i
−
1
(
−
)
j
∂
n
+
1
,
j
∘
s
n
,
i
+
∑
j
=
i
i
+
1
(
−
)
j
∂
n
+
1
,
j
∘
s
n
,
i
+
∑
j
=
i
+
1
n
+
1
(
−
)
j
∂
n
+
1
,
j
∘
s
n
,
i
=
∑
j
=
0
i
−
1
(
−
)
j
s
n
−
1
,
i
−
1
∘
∂
n
,
j
+
∑
j
=
i
i
+
1
(
−
)
j
+
∑
j
=
i
+
1
n
+
1
(
−
)
j
s
n
−
1
,
i
∘
∂
n
,
j
−
1
=
s
n
−
1
,
i
−
1
∘
(
∑
j
=
0
i
−
1
(
−
)
j
∂
n
,
j
)
−
s
n
−
1
,
i
∘
(
∑
j
=
i
n
(
−
)
j
∂
n
,
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n+1}\circ \circ s_{n,i}&=\sum _{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}s_{n-1,i-1}\circ \partial _{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s_{n-1,i}\circ \partial _{n,j-1}\\&=s_{n-1,i-1}\circ \left(\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)-s_{n-1,i}\circ \left(\sum _{j=i}^{n}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)\\\end{aligned}}}
이다.
정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:
g
n
+
1
{\displaystyle g_{n+1}}
의 핵의 경계가
g
n
{\displaystyle g_{n}}
의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
=
∑
j
=
1
n
ϕ
i
,
j
∘
∂
n
+
1
,
j
(
j
<
n
)
{\displaystyle \partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\phi _{i,j}\circ \partial _{n+1,j}\qquad (j<n)}
여기서
ϕ
i
,
j
{\displaystyle \phi _{i,j}}
는 임의의 사상이다.
그런데
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
=
∑
j
=
0
n
+
1
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
,
j
=
(
∑
j
=
0
n
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
,
j
)
+
(
−
)
n
+
1
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
,
n
+
1
=
(
∑
j
=
0
n
∂
n
,
i
∘
∂
n
+
1
,
j
)
+
(
−
)
n
+
1
∂
n
,
n
∘
∂
n
+
1
,
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}&=\sum _{j=0}^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,n+1}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,n}\circ \partial _{n+1,i}\\\end{aligned}}}
이다.
준단체 대상에 대응하는 단체 대상
편집
우선, 다음 기호를 정의하자.
Surj
(
n
,
m
)
⊆
hom
△
(
n
,
m
)
{\displaystyle \operatorname {Surj} (n,m)\subseteq \hom _{\triangle }(n,m)}
은 모든 전사 증가 함수
{
0
,
1
,
…
,
n
}
↠
{
0
,
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc ,m\}}
(
0
≤
m
≤
n
{\displaystyle 0\leq m\leq n}
)들의 집합이다.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 준단체 대상
C
:
△
pre
op
→
A
{\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 단체 대상 을 정의할 수 있다.
σ
(
C
n
)
=
⨁
m
=
0
n
⨁
Surj
(
n
,
m
)
C
m
{\displaystyle \sigma (C_{n})=\bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}C_{m}}
즉, 각
ϕ
∈
Surj
(
n
,
m
)
{\displaystyle \phi \in \operatorname {Surj} (n,m)}
에 대하여 포함 사상
β
ϕ
:
C
m
↪
σ
(
C
n
)
{\displaystyle \beta _{\phi }\colon C_{m}\hookrightarrow \sigma (C_{n})}
이 있다.
그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주
△
{\displaystyle \triangle }
속의 임의의 사상(증가 함수 )은 전사 증가 함수 와 단사 증가 함수 의 합성으로 유일하게 표현된다.
임의의 단체 범주 사상
f
∈
hom
△
(
m
,
n
)
{\displaystyle f\in \hom _{\triangle }(m,n)}
에 대하여,
σ
(
f
)
:
σ
(
C
n
)
→
σ
(
C
m
)
{\displaystyle \sigma (f)\colon \sigma (C_{n})\to \sigma (C_{m})}
은 다음과 같다.
σ
(
f
)
=
∐
g
∈
Surj
(
n
,
k
)
ι
∘
ϕ
=
g
∘
f
β
ϕ
∘
C
(
ι
)
{\displaystyle \sigma (f)=\coprod _{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta _{\phi }\circ C(\iota )}
여기서,
ι
∘
ϕ
=
g
∘
f
{\displaystyle \iota \circ \phi =g\circ f}
은
(
ι
,
ϕ
)
{\displaystyle (\iota ,\phi )}
가
g
∘
f
∈
hom
△
(
m
,
k
)
{\displaystyle g\circ f\in \hom _{\triangle }(m,k)}
의, 단사 함수 (
ι
:
{
0
,
…
,
n
′
}
↪
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle \iota \colon \{0,\dotsc ,n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc ,k\}}
)와 전사 함수 (
ϕ
:
{
0
,
…
,
m
}
↠
{
0
,
…
,
n
′
}
{\displaystyle \phi \colon \{0,\dotsc ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dotsc ,n'\}}
)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
C
(
ι
)
:
C
k
→
C
n
′
{\displaystyle C(\iota )\colon C_{k}\to C_{n'}}
은 함자
C
:
△
pre
op
→
A
{\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
아래의,
ι
∈
hom
△
pre
(
n
′
,
k
)
{\displaystyle \iota \in \hom _{\triangle _{\operatorname {pre} }}(n',k)}
의 상 이다.
짧은 완전열
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 단체 대상
M
∙
{\displaystyle M_{\bullet }}
에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체 의 짧은 완전열 이 존재한다.
0
→
D
∙
(
M
)
→
C
∙
(
M
)
→
N
∙
(
M
)
→
0
{\displaystyle 0\to \operatorname {D} _{\bullet }(M)\to \operatorname {C} _{\bullet }(M)\to \operatorname {N} _{\bullet }(M)\to 0}
즉,
N
∙
(
M
)
≅
C
∙
(
M
)
D
∙
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} _{\bullet }(M)}{\operatorname {D} _{\bullet }(M)}}}
이다.
정규 사슬 복합체의 표준 분해
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
속의 단체 대상
M
∙
{\displaystyle M_{\bullet }}
에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형 이 존재한다.
i
n
:
⨁
m
=
0
n
⨁
Surj
(
n
,
m
)
N
k
(
M
)
≅
C
n
(
M
)
{\displaystyle i_{n}\colon \bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} _{k}(M)\cong \operatorname {C} _{n}(M)}
이 동형 사상 은 다음과 같이 주어진다.
i
n
=
∐
m
=
0
n
∐
f
∈
Surj
(
n
,
m
)
M
(
f
op
)
{\displaystyle i_{n}=\coprod _{m=0}^{n}\coprod _{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })}
여기서
M
(
f
op
)
:
N
m
(
M
)
→
M
n
{\displaystyle M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} _{m}(M)\to M_{n}}
은 함자
M
:
△
op
→
A
{\displaystyle M\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
아래
f
op
∈
hom
△
op
(
m
op
,
n
op
)
{\displaystyle f^{\operatorname {op} }\in \hom _{\triangle ^{\operatorname {op} }}(m^{\operatorname {op} },n^{\operatorname {op} })}
의 상 이다.
돌트-칸 대응
편집
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위에서, 다음과 같은 범주의 동치 가 존재한다.
s
(
A
)
⇆
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
여기서
s
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
는
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 단체 대상 의 범주이다.
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
는
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체 들의 범주이다.
이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.
N
:
s
(
A
)
→
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
는 단체 대상 에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
Γ
:
Ch
≥
0
(
A
)
→
s
(
A
)
{\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\to \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
는 자연수 등급 사슬 복합체 에 대응되는 준단체 대상 에 대응되는 단체 대상 이다.
또한, 이 범주의 동치 는 자연 동형 으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형
N
∘
Γ
⇒
1
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1_{\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}}
Γ
∘
N
⇒
1
s
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}}
가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자 를 이룬다.
N
⊣
Γ
{\displaystyle \operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma } }
Γ
⊣
N
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N} }
모형 구조
편집
돌트-칸 대응을 사용하여,
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
위의 모형 범주 구조를
s
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
와
s
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
사이의 퀼런 동치 를 이룬다.
이 경우,
s
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합 으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군 의 동형을 유도하는 것이다.
참고 문헌
편집
외부 링크
편집