강압 쌍선형 형식
함수해석학에서 강제 쌍선형 형식(強壓雙線型形式, 영어: coercive bilinear form)은 그 대각 성분들이 양의 하한을 갖는, 실수 힐베르트 공간 위의 유계 쌍선형 형식이다.
정의
편집실수 힐베르트 공간 위의 연속 쌍선형 형식
가 다음 조건들을 만족시킨다면 강제 쌍선형 형식이라고 한다.
(일반적으로 노름 공간 는 완비 거리 공간이 아니어서 힐베르트 공간이 아닐 수 있다.)
여기서, 두 노름 공간 사이의 선형 변환의 경우 연속성은 유계 작용소인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다.
성질
편집다음이 주어졌다고 하자.
- 실수 힐베르트 공간
- 강제 연속 쌍선형 형식
럭스-밀그램 정리(Lax-Milgram定理, 영어: Lax–Milgram theorem)에 따르면, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 유일하게 존재한다.[1]:Theorem 6.2.1, 317–319
또한, 다음이 성립한다.
증명:
리스 표현 정리에 따른 표준적인 동형
를 생각하자. (여기서 은 의 연속 쌍대 공간이다.)
임의의 에 대하여,
는 유계 작용소이다. 따라서
를 정의할 수 있다. 이는 함수
를 정의한다. 이는 실수 선형 변환임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한
이므로
이며, 역시 유계 작용소이다. (여기서 는 작용소 노름이다.)
또한,임의의 에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 에 대하여
이므로, 특히
이다. 이에 따라 이며, 는 단사 함수이며, 또한 의 치역은 닫힌집합이다.
이제, 가 전사 함수임을 보이면 족하다. 의 치역이 닫힌집합이므로, 임의의 임을 보이면 족하다. 임의의 에 대하여,
이므로 이다.
역사
편집럭스-밀그램 정리는 럭스 페테르와 아서 노턴 밀그램(영어: Arthur Norton Milgram, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다.[2]
각주
편집- ↑ Evans, Lawrence C. (2010). 《Partial differential equations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 19 2판. 2017년 2월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 24일에 확인함.
- ↑ Lax, Peter David; Milgram, Arthur Norton (1954). 〈Parabolic equations〉. 《Contributions to the theory of partial differential equations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 33. 167–190쪽. doi:10.1515/9781400882182-010. MR 0067317. Zbl 0058.08703.
외부 링크
편집- “Coerciveness inequality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lax-Milgram lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Babuska-Lax-Milgram theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Coercive functional”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Lax-Milgram theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Stover, Christopher. “Stampacchia theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.