롤의 정리

미적분학에서 롤의 정리(Rolle's theorem)란 미분 가능한 함수에 대한 본질적인 성질로서, 함수값이 같은 두 점이 존재할 경우, 함수의 그래프를 그리면 그 두 값 사이에 접선의 기울기가 0이 되는 점이 반드시 존재한다는 정리이다.

정리의 표준적 서술

실변수 함수 $f$ 가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)에서 미분 가능하며 $f(a)=f(b)$ 일 때, $f'(c)=0$ 이 되는 구간 (a,b)사이의 c가 최소한 하나는 존재한다.

이것은 평균값 정리(mean value theorem)를 증명하는데 이용되며, 실질적으로 평균값 정리의 특별한 경우이다.

$\left[a,b\right]$ 에서 $f\left(x\right)$ 가 상수 함수인 경우
모든 $x\in \left(a,b\right)$ 에 대해서 $f'\left(x\right)=0$ 이다.
$f\left(x\right)>f\left(a\right)$ 인 $x\in \left(a,b\right)$ 가 존재할 경우
최대 최소 정리에 의하여 함수 $f$ 는 $\left[a,b\right]$ 에서 최댓값을 갖는다. $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ 이며 가정에 의하여 $f\left(x\right)>f\left(a\right)$ 인 $x\in \left(a,b\right)$ 가 존재하므로 최댓값은 $f\left(a\right)$ 나 $f\left(b\right)$ 가 될 수 없다. 즉, $\left(a,b\right)$ 에서 최댓값을 가져야 한다. $x=c\in \left(a,b\right)$ 에서 최댓값을 가진다고 하면 일계도함수판정법에 의하여 $f'\left(c\right)=0$ 이다.
$f\left(x\right)<f\left(a\right)$ 인 $x\in \left(a,b\right)$ 가 존재할 경우
최대 최소 정리에 의하여 함수 $f$ 는 $\left[a,b\right]$ 에서 최솟값을 갖는다. $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ 이며 가정에 의하여 $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ 인 $x\in \left(a,b\right)$ 가 존재하므로 최솟값은 $f\left(a\right)$ 나 $f\left(b\right)$ 가 될 수 없다. 즉, $\left(a,b\right)$ 에서 최솟값을 가져야 한다. $x=c\in \left(a,b\right)$ 에서 최솟값을 가진다고 하면 일계도함수판정법에 의하여 $f'\left(c\right)=0$ 이다.