평균값 정리

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다.[1] 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

(a, f(a))와 (b, f(b))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c에서의 접선을 얻을 수 있다.

정의편집

롤의 정리편집

함수   에서 연속 함수,  에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한,  라고 하자. 그렇다면,   가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다.

평균값 정리편집

함수   에서 연속 함수,  에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는  가 적어도 하나 존재한다.[2][3]

 

이를 평균값 정리라고 한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서  인 특수한 경우이다.

증명:

함수   에서 양 끝점을 지나는 직선을 뺀 함수로, 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

 

따라서, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

코시 평균값 정리편집

 
곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.

함수   에서 연속 함수,  에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한,  라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

이를 코시 평균값 정리(영어: Cauchy's mean value theorem) 또는 확장된 평균값 정리(영어: extended mean value theorem)라고 한다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서  인 특수한 경우이다.

기하학적 관점에서, 코시 평균값 정리는 평균값 정리를 함수의 그래프에서 미분 가능 단순 곡선까지 확장시킨 결과이다. 그러나 곡선의 임계점이 존재하지 않는다는 조건을 제거하면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선  ,  의 경우, 양 끝점  의 연결선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.

증명:

함수  를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

 

따라서, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

행렬식 평균값 정리편집

함수   에서 연속 함수,  에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

코시 평균값 정리는 여기서  을 취한 특수한 경우이다.

증명:

다음과 같은 함수에 롤의 정리를 적용하여 증명할 수 있다.

 

다변수 함수의 경우편집

함수  열린집합  에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 임의의  에 대하여,  라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

일변수 함수에 대한 평균값 정리는 여기서  을 취한 특수한 경우이다.

증명:

함수  를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  는 (일변수 함수에 대한) 평균값 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

적분 평균값 정리편집

제1 적분 평균값 정리편집

연속 함수  에 대하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

보다 일반적으로, 두 함수   는 연속 함수,  는 부호가 일정한 (즉,  이거나  인) 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

만약 추가로  가 연속 함수라면, 위의 조건을 만족시키는  가 존재한다. 이 두 정리는 각각 함수의 평균값가중 평균값이 그 함수의 치역에 속한다는 의미이다.

증명:

일반성을 잃지 않고,  라고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

만약

 

이라면,

 

이며, 임의의  를 취하면 된다. 만약

 

이라면,

 

이므로, 중간값 정리에 따라 성립한다. 추가로  가 연속 함수라면, 엄격 부등식이 성립함을 보일 수 있으므로,   에서 취할 수 있다.

제2 적분 평균값 정리편집

두 함수  가 주어졌고,  는 적분 가능 함수라고 하자.

  • 만약  가 감소 함수이며,  이라면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.
     
  • 만약  단조함수라면, 다음을 만족시키는  가 존재한다.
     

증명:

다음은 두 번째 명제의  가 항상  이거나 항상  인 경우에 대한 증명이다.  를 편의상 단조증가로 가정하면

 

가 성립한다. 이것을

 

로 놓고 다시 쓰면

 

와 같다.  미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

복소 적분 형태편집

복소평면 상에서 어떤 점  을 중심으로 하는 반지름   내에서 정칙인 함수  에 대하여,

  가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

증명:

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

 일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

 

응용편집

다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.

  • 구간  에 정의된 실수값함수  가 만약  에서 연속,  내부에서 미분 가능하며 항상  이라면,   에서 상수함수이다.
  •  가 만약  에서 연속, 내부에선 항상  라면,   에서 상수 차이이다.
  •  가 만약  에서 연속, 내부에선 항상  이라면,   에서 단조증가한다.

이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다.   내부의 임의의 두 점  에 대해,   에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는  가 존재한다.

 

 . 이로써    내부에서 상수이다. 연속성에 의해   전체에서 상수다.

역사편집

이 정리의 최초의 입안자는 인도의 Vatasseri Parameshvara로 기록되어 있으며[4] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 115-120 쪽
  2. Weisstein, Eric Wolfgang. “Mean-Value Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 17쪽. ISBN 978-89-966211-8-8. 
  4. J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어: Paramesvara를 보라

참고 문헌편집

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 
  • Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 

외부 링크편집