롬베르크 적분

롬베르크 적분(Romberg-Integration)은 수치해석학에서 정적분

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

을 추산하기 위한 방법이다.(Romberg 1955) 리처드슨 외삽법(Richardson 1911)을 사다리꼴 공식 또는 직사각형 공식에 반복적으로 적용하는 것이 골자이다. 추산하면 삼각배열이 생성된다. 롬베르크 적분은 뉴턴-코츠 공식의 일종이다. 이 방법을 1955년 논문으로 발표한 베르너 롬베르크의 이름을 따서 명명되었다.

방법

방법은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

$R(0,0)={\frac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b))$

$R(n,0)={\frac {1}{2}}R(n-1,0)+h_{n}\sum _{k=1}^{2^{n-1}}f(a+(2k-1)h_{n})$

$R(n,m)=R(n,m-1)+{\frac {1}{4^{m}-1}}(R(n,m-1)-R(n-1,m-1))$

또는

$R(n,m)={\frac {1}{4^{m}-1}}(4^{m}R(n,m-1)-R(n-1,m-1))$

이때

$n\geq m\,$

$m\geq 1\,$

$h_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}.$

대문자 O 표기법으로 $R(n,m)$의 오차는(Mysovskikh 2002)

$O\left(h_{n}^{2m+2}\right).\,$

참고 자료

• Richardson, L. F. (1911), “The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems Involving Differential Equations, with an Application to the Stresses in a Masonry Dam”, 《Philosophical Transactions of the Royal Society A》 210 (459-470): 307–357, doi:10.1098/rsta.1911.0009, JSTOR 90994 
• Romberg, W. (1955), “Vereinfachte numerische Integration”, 《Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab Forhandlinger》 (Trondheim) 28 (7): 30–36 
• Thacher, Jr., Henry C. (July 1964), “Remark on Algorithm 60: Romberg integration”, 《Communications of the ACM》 7 (7): 420–421, doi:10.1145/364520.364542 
• Bauer, F.L.; Rutishauser, H.; Stiefel, E. (1963), Metropolis, N. C.; 외., 편집., “New aspects in numerical quadrature”, 《Experimental Arithmetic, high-speed computing and mathematics, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics》 (AMS) (15): 199–218  CS1 관리 - et al.의 직접적인 사용 (링크)
• Bulirsch, Roland; Stoer, Josef (1967), “Handbook Series Numerical Integration. Numerical quadrature by extrapolation”, 《Numerische Mathematik》 9: 271–278, doi:10.1007/bf02162420 
• Mysovskikh, I.P. (2002), 〈Romberg method〉, Hazewinkel, Michiel, 《Encyclopaedia of Mathematics》, Springer-Verlag, ISBN 1-4020-0609-8 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), 〈Section 4.3. Romberg Integration〉, 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, 2012년 3월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2015년 4월 1일에 확인함 

외부 링크

• ROMBINT Archived 2008년 6월 9일 - 웨이백 머신 – code for MATLAB (author: Martin Kacenak)
• Module for Romberg integration
• Free online integration tool using Romberg, Fox–Romberg, Gauss–Legendre and other numerical methods