사다리꼴 공식

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수치 해석에서 사다리꼴 공식(-公式, 영어: trapezoidal rule)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다. 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다.

사다리꼴 근사. 적분될 함수의 이계도함수가 음수이므로, 사다리꼴 공식 근사는 실제 정적분보다 더 작다.

$N=1$일 경우의 사다리꼴 근사는 임의의 함수를 선형 함수로 어림한다.

정의

닫힌구간 $[t_{0},t_{N}]$ 위의 적분 가능 함수

$f\colon [t_{0},t_{N}]\to \mathbb {R}$

및 수열

$t_{0}\leq t_{1}\leq \dotsc \leq t_{N-1}\leq t_{N}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

$F=\int _{t_{0}}^{t_{N}}f(x)\,\mathrm {d} x$

의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

${\tilde {F}}=\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(t_{i+1}-t_{i})(f(t_{i+1})+f(t_{i}))}{2}}$

특히, $N=1$일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

${\tilde {F}}={\frac {(t_{1}-t_{0})(f(t_{1})+f(t_{0}))}{2}}$

성질

사다리꼴 공식 근사의 오차

${\tilde {F}}-F$

를 생각하자. 만약 $f$가 ${\mathcal {C}}^{2}$ 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 $\xi \in [t_{0},t_{N}]$가 존재한다.

${\tilde {F}}-F={\frac {1}{12}}f''(\xi )\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}$

증명:

다음과 같은 함수들을 정의하자.

$g_{i}\colon [0,t_{i+1}-t_{i}]\to \mathbb {R}$

$g_{i}(s)={\frac {1}{2}}s(f(t_{i})+f(t_{i}+s))-\int _{t_{i}}^{t_{i}+t}f(x)\,\mathrm {d} x$

즉,

${\tilde {F}}-F=\sum _{i=0}^{N-1}g_{i}(t_{i+1}-t_{i})$

이다. 그러면

$g_{i}(0)=g_{i}'(0)=g_{i}''(0)=0$

$g_{i}'(s)={\frac {1}{2}}\left(f(t_{i})-f(t_{i}+s)\right)+{\frac {1}{2}}sf'(t_{i}+s)$

$g_{i}''(s)={\frac {1}{2}}sf''(t_{i}+s)$

이다. 즉,

$K=\min _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)$

$L=\max _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)$

를 정의하면,

${\frac {1}{2}}Ks\leq g''_{i}(s)\leq {\frac {1}{2}}Ls$

이며, 이를 두 번 적분하면

${\frac {1}{12}}Ks^{3}\leq g_{i}(s)\leq {\frac {1}{12}}Ls^{3}$

가 된다. 즉,

${\frac {K}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}\leq {\tilde {F}}-F\leq {\frac {L}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}$

이다. $f''$가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라

$f''(\xi )={\frac {{\tilde {F}}-F}{\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}}}$

인 $\xi \in [t_{0},t_{N}]$가 존재한다.

특히, 만약 $t_{i}$들이 산술 수열을 이룬다면,

${\frac {1}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}={\frac {(t_{N}-t_{0})^{3}}{12}}N^{-2}$

가 된다. 즉, $N\to \infty$일 때, 오차는 $N^{-2}$의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 $f''$가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 ${\tilde {F}}$는 $F$보다 더 작으며, 반대로 $f'''$가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 ${\tilde {F}}$는 $F$보다 더 크다.

외부 링크

• “Trapezium formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trapezoidal rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.