르베그 수

위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, 영어: Lebesgue number)는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다.

정의

유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta >0$이다.

• 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\operatorname {diam} Y<\delta$이면 $Y\subseteq U\in {\mathcal {U}}$가 존재한다.

여기서

$\operatorname {diam} Y=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in Y\}$

는 유사 거리 공간의 지름이다.

성질

유일성

유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수 $\delta$가 존재한다면, $\delta$보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수이다.

정의에 따라, 유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

존재

르베그 수 보조정리(-數補助定理, 영어: Lebesgue's number lemma)에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.

증명:

정의에 따라 유한 부분 덮개

$\{U_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {U}}$

를 취할 수 있다. 이제, 다음이 르베그 수임을 보이자.

$\delta =\min _{x\in X}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,X\setminus U_{i})>0$

임의의

$Y\subset X$

$\operatorname {diam} Y<\delta$

에 대하여, 임의의

$y\in Y$

를 취하자. 그러면,

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(y,X\setminus U_{i})\geq \delta$

이므로, 다음을 만족시키는 $i\in \{1,\dots ,n\}$이 존재한다.

$d(y,X\setminus U_{i})\geq \delta$

즉,

$Y\subseteq U_{i}$

이다.

예

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb {R}$의 열린구간 덮개 ${\mathcal {U}}$를 생각하자. 유한 부분 덮개

$\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),\dots ,(a_{n},b_{n})\}$

를 취하고,

$\delta =\min\{|x-y|\colon x,y\in \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\},\;x\neq y\}\in (0,\infty )$

라고 하자. 그렇다면 $\delta$는 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수이다.

증명:

각 $x\in [a,b]$에 대하여, $x\in (a_{i(x)},b_{i(x)})$인 $i(x)\in \{1,2,\dots ,n\}$을 취하자. 그렇다면, 길이 $\delta$ 미만의 구간

$[x,y]\subset [a,b]$

$y-x<\delta$

에 대하여, 만약

$[x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}=\varnothing$

이라면,

$[x,y]\subset (a_{i(x)},b_{i(x)})$

이다. 반대로 만약

$c\in [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}$

이라면,

$[x,y]\subset (a_{i(c)},b_{i(c)})$

이다.

응용

르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보이기 위해 사용된다.^:32

외부 링크

• “Lebesgue number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Lebesgue's number lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Open cover may not have Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어).