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구간

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수학에서, 구간(區間, 영어: interval)은 주어진 두 실수 (또는 무한대) 사이의 모든 실수의 집합이다. 구간의 개념은 유클리드 공간부분 순서 집합으로 일반화된다.

정의편집

두 실수  가 주어졌다고 하자. 또한 양과 음의 무한대를   로 표기하자.

유한한 길이의 구간은 다음 중 한 가지 형태의 실수 부분 집합이다.

 

무한한 길이의 구간은 다음 중 한 가지 형태의 실수 부분 집합이다.

 
 

구간  끝점(영어: endpoint)은 위 표현에 사용된    (또는 무한대)를 뜻한다. 이들은 구간의 하한과 상한이다. 즉,

 
 

구간  길이(영어: length)는 그 오른쪽 끝점과 왼쪽 끝점의 차이다. 이는 구간의 지름이다. 즉,

 

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구간

 

 

을 만족하는 실수  의 집합이다. 따라서,

 
 
 
 
 

이다. 이 구간의 두 끝점은 1과 8이며, 길이는 7이다. 또한, 여집합

 

이다. 즉,

  또는  

을 만족하는 실수  의 집합이다.

분류편집

구간은 다음과 같은 여러 방식으로 분류할 수 있다.

  • 끝점 포함 여부에 따라, 열린구간 · 닫힌구간 · 반닫힌구간으로 분류된다.
  • 유계 집합 여부에 따라, 유한 구간 · 무한 구간으로 분류된다.

구체적으로, 구간  의 두 끝점을  ( )라고 하자.

열린구간과 닫힌구간편집

구간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  열린구간(영어: open interval) 또는 개구간(開區間)이라고 한다.

  •  .
  •  . 즉, 두 끝점을 포함하지 않는다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
  • 실수 부분 집합으로서 열린집합이다.

구간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  닫힌구간(영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間)이라고 한다.

  •  .
  •  . 즉, 두 끝점을 포함한다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
  • 실수 진부분집합으로서 닫힌집합이다.

구간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  반닫힌구간(半-, 영어: half-closed interval) 또는 반열린구간 또는 반폐구간 또는 반개구간이라고 한다.

  •  .
  •  . 즉, 두 끝점 가운데 하나만을 포함한다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
  • 실수 부분 집합으로서 열린집합도 닫힌집합도 아니다.

유계 구간과 무계 구간편집

구간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  유계 구간(有界區間, 영어: bounded interval) 또는 유한 구간(有限區間, 영어: finite interval)이라고 한다.

  •  . 즉, 무한대 끝점을 갖지 않는다.
  •  . 즉, 길이가 유한하다.
  • 실수 부분 집합으로서 유계 집합이다.

구간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  무계 구간(無界區間, 영어: unbounded interval) 또는 무한 구간(無限區間, 영어: infinite interval)이라고 한다.

  •  . 즉, 무한대 끝점을 갖는다.
  •  . 즉, 길이가 무한하다.
  • 실수 부분 집합으로서 무계 집합이다.

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  •  는 열린구간이자 유계 구간이다.
  •  ,  ,  는 열린구간이자 무계 구간이다.
  •  는 닫힌구간이자 유계 구간이다.
  •   는 반닫힌구간이자 유계 구간이다.
  •  는 반닫힌구간이자 무계 구간이다.

관련 개념편집

퇴화 구간편집

실수 부분 집합  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  를 퇴화 구간(영어: degenerate interval)이라고 한다.

  •  이거나,  . 즉, 공집합이거나 한원소 집합이다.
  •   즉, 지름이 음의 무한대이거나 0이다.
  • 위에서 정의한 표기를 따를 때,  이게 되는 두 실수  가 존재한다.

즉, 퇴화 구간은 끝점의 크기 비교에 대한 조건에 부정을 취한, 구간 정의의 변형이다. 퇴화 구간과 구별하기 위해, 일반적인 구간을 비퇴화 구간(영어: non-degenerate interval)이라고 한다.

퇴화 구간  의 길이와 분류는 다음과 같다.

  • 퇴화 구간의 길이는 0이다.
  • 공집합은 열린구간이자 닫힌구간이다. 한원소 집합은 열린구간이 아닌 닫힌구간이다.
  • 퇴화 구간은 유한 구간이다.

확장된 실수의 구간편집

확장된 실수  에서는 추가적으로 다음과 같은 구간들이 허용된다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

부분 순서 집합 위의 구간편집

실수 구간과 비슷하게, 임의의 부분 순서 집합   위의 구간을 정의할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

  •  
  •  
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같이 보기편집