리우빌 장론

양자장론에서, 리우빌 장론(Liouville場論, 영어: Liouville field theory)은 비임계 끈 이론세계면 이론으로 등장하는 2차원 등각 장론이다.[1][2] 무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 상관 함수들이 알려져 있다.

역사와 어원편집

이 이론의 운동 방정식조제프 리우빌리만 곡면균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사해 이러한 이름이 붙었다.[3]

정의편집

리우빌 장론은 스칼라장  와 실수 매개 변수  를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다.

 

여기서  는 2차원 곡면  계량 텐서이며,  는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장  리우빌 장(영어: Liouville field)이라고 한다.

성질편집

운동 방정식편집

리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.

 

여기서

 

는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.

 

등각 대칭편집

리우빌 장의 비라소로 대수의 중심 전하(영어: central charge)는 다음과 같다.[1]:(2.11)

 

보통

 

로 정의한다.

스펙트럼편집

리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.[1]:13

 

여기서  이다. 이러한 상태의 등각 차원은

 

이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.[4]:§5.5

또한, 일반적으로

 
 

의 형태의 연산자가 존재하지만,  라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다.[1] 이 부등식을 자이베르그 한계(영어: Seiberg bound)라고 한다.[5]

3점 상관 함수 계수편집

2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 DOZZ 공식(영어: DOZZ formula)라고 한다. 이는 하랄트 도른(독일어: Harald Dorn), 한스외르크 오토(독일어: Hans-Jörg Otto)[6], 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프(러시아어: Алексей Борисович Замолодчиков)[7] 가 발견하였다.

응용편집

끈 이론편집

끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 비임계 끈 이론(영어: non-critical string theory)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.[8]

끈 이론에서,  차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은

 
 

인 리우빌 이론이다.[1]:(2.12)

2차원 양자 중력편집

리우빌 이론은 또한 (만약 계량 텐서   또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 리우빌 중력(영어: Liouville gravity)이라고 한다.

참고 문헌편집

  1. Nakayama, Yu (2004). “Liouville field theory: a decade after the revolution”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 19 (17–18): 2771–2930. arXiv:hep-th/0402009. Bibcode:2004IJMPA..19.2771N. doi:10.1142/S0217751X04019500. ISSN 0217-751X. 
  2. Teschner, J (2001). “Liouville theory revisited”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 18 (23): R153. arXiv:hep-th/0104158. Bibcode:2001CQGra..18R.153T. doi:10.1088/0264-9381/18/23/201. 
  3. Lützen, J. (1990). 《Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics》 (영어). Springer. ISBN 0387971807. 
  4. Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri, Yaron Oz (2000년 1월). “Large N Field Theories, String Theory and Gravity”. 《Physics Reports》 323 (3–4): 183–386. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode:1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. ISSN 0370-1573. 
  5. Seiberg, Nathan (1990). “Notes on quantum Liouville theory and quantum gravity”. 《Progress in Theoretical Physics Supplements》 (영어) 102: 319-349. Bibcode:1990PThPS.102..319S. doi:10.1143/PTPS.102.319. 
  6. Dorn, H.; H.J. Otto (1994). “Two and three point functions in Liouville theory”. 《Nucl. Phys. B》 (영어) 429: 375-388. arXiv:hep-th/9403141. 
  7. Zamolodchikov, A. B.; Al. B. Zamolodchikov. “Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory” (영어). arXiv:hep-th/9506136. Bibcode:1996NuPhB.477..577Z. doi:10.1016/0550-3213(96)00351-3. 
  8. Polyakov, A.M. (1981). “Quantum geometry of bosonic strings”. 《Physics Letters B》 (영어) 103 (3): 207. Bibcode:1981PhLB..103..207P. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.