리만 곡면

복소해석학에서, 리만 곡면(Riemann曲面, 영어: Riemann surface)은 1차원 복소다양체이다.

정의편집

리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 매끄러운 다양체이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(orientable conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

예제편집

복소평면과 리만 구는 리만 곡면이다.
주어진 리만 곡면의 열린집합은 리만 곡면을 이룬다.
콤팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 같다.

성질편집

모든 2차원 가향 매끄러운 다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영 공간은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 구, 평면은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 매끄러운 다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 모듈러스 공간(space of moduli)이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈러스 공간은 $\mathbb {C} /\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 이다. 종수가 $g>1$ 인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 $3g-3$ 이다.

리만 곡면의 자기동형사상편집

리만 곡면의 자기동형군은 다음과 같다.

종수(genus) 0:
- 리만 구면의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
- 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기 동형 사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
- 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기 동형 사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ 이다.
- 원환(annulus) $\{a<|z|<1\}$ 의 자기 동형 사상은 회전 $z\mapsto \exp(i\theta )z$ 또는 반전 $z\mapsto a/z$ 이다. 이 사실은 프리드리히 쇼트키(Friedrich Hermann Schottky)가 1877년에 증명하였다.^[1]
종수 1:
- 대부분의 복소 원환면의 자기동형군은 평행이동 $U(1)\times U(1)$ 과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기 동형 사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기 동형 사상을 이룬다.^[2]
종수 $g\geq 2$ 인 경우, 자기동형군은 유한군이며, 그 크기는 $84(g-1)$ 이하이다. 이를 후르비츠 자기동형사상 정리라고 하며, 아돌프 후르비츠(독일어: Adolf Hurwitz)가 증명하였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

↑ Astala, K.; T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen (2008). 〈Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli〉. 《Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro》. Contemporary Mathematics 455. American Mathematical Society. 35–39쪽. ISBN 978-0-8218-4150-1. doi:10.1090/conm/455/08845.
↑ Piercey, Victor I. (2008년 1월 23일). “Automorphism groups of elliptic curves over ℂ” (PDF). ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

Farkas, Hershel M.; Irwin Kra (1992). 《Riemann Surfaces》. Graduate Texts in Mathematics 71 2판. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-7391-2. doi:10.1007/978-1-4612-2034-3. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. OCLC 13348052.
Jost, Jürgen (2006). 《Compact Riemann Surfaces: An introduction to contemporary mathematics》. Berlin, New York: Springer-Verlag. 208–219쪽. ISBN 978-3-540-33065-3. doi:10.1007/978-3-540-33067-7.
Schlichenmaier, Martin (2007). 《An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces》 2판. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-71174-2. doi:10.1007/978-3-540-71175-9.
Napier, Terrence; Mohan Ramachandran (2012). 《An Introduction to Riemann Surfaces》. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4692-9. doi:10.1007/978-0-8176-4693-6.

외부 링크편집

Solomentsev, E.D. (2001). “Riemann surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Gastesi, Pablo Arés. “Riemann Surfaces”.

[1] Astala, K.; T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen (2008). 〈Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli〉. 《Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro》. Contemporary Mathematics 455. American Mathematical Society. 35–39쪽. ISBN 978-0-8218-4150-1. doi:10.1090/conm/455/08845.

[2] Piercey, Victor I. (2008년 1월 23일). “Automorphism groups of elliptic curves over ℂ” (PDF). ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

[1]

[2]