리만 곡면
정의편집
리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 매끄러운 다양체이다.
이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(orientable conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.
예제편집
성질편집
모든 2차원 가향 매끄러운 다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영 공간은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 구, 평면은 복소 구조를 가진다.
주어진 2차원 매끄러운 다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 모듈라이 공간(space of moduli)이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈러스 공간은 이다. 종수가 인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 이다.
리만 곡면의 자기동형사상편집
리만 곡면의 자기동형군은 다음과 같다.
- 종수(genus) 0:
- 종수 1:
- 종수 인 경우, 자기동형군은 유한군이며, 그 크기는 이하이다. 이를 후르비츠 자기동형사상 정리라고 하며, 아돌프 후르비츠(독일어: Adolf Hurwitz)가 증명하였다.
같이 보기편집
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참고 문헌편집
- ↑ Astala, K.; T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen (2008). 〈Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli〉. 《Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro》. Contemporary Mathematics 455. American Mathematical Society. 35–39쪽. doi:10.1090/conm/455/08845. ISBN 978-0-8218-4150-1.
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- Farkas, Hershel M.; Irwin Kra (1992). 《Riemann Surfaces》. Graduate Texts in Mathematics 71 2판. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-2034-3. ISBN 978-1-4612-7391-2.
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외부 링크편집
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- Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Gastesi, Pablo Arés. “Riemann Surfaces”.