마스 파동 형식

수학에서 마스 파동 형식(영어: Maass wave form)은 모듈러 형식과 유사하지만 정칙함수가 아니라 일종의 조화함수인 복소함수이다. 한스 마스가 1949년 정의하였다.

정의

상반평면 $\mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} \tau >0\}$ 위의 라플라스 연산자는 다음과 같다. $\tau =x+iy$라면,

$\Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)$

이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

약한 마스 파동 형식(영어: Maass wave form)은 다음 성질들을 만족시키는, 상반평면 위에 정의된 복소함수 $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$이다.

• $f$는 모듈러 군 $\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$의 작용에 불변이다. 즉, ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$에 대하여 $f((az+b)/(cz+d),(a{\bar {z}}+b),(c{\bar {z}}+d))=f(z,{\bar {z}})$이다.
• $f$는 상반평면 라플라스 연산자 $\Delta$의 고유함수이다. 즉, $\Delta f=0$이다.

마스 파동 형식은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$의 첨점 근처에서, $x,y$에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(영어: mock modular form)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

참고 문헌

• Bump, Daniel (1997), 《Automorphic forms and representations》, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55098-7, MR 1431508 

외부 링크

• Yu, Jianya (2007년 3월). “Lectures on Maass forms” (PDF) (영어). 2013년 12월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 18일에 확인함.