해석학 에서, 모멘트 문제 (moment問題, 영어 : moment problem )는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.
다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.
함부르거 모멘트 문제 (영어 : Hamburger moment problem )는
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
u
i
=
x
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )}
스틸티어스 모멘트 문제 (영어 : Stieltjes moment problem )는
X
=
[
0
,
∞
)
{\displaystyle X=[0,\infty )}
u
i
=
x
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )}
하우스도르프 모멘트 문제 (영어 : Hausdorff moment problem )는
X
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle X=[0,1]}
u
i
=
x
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )}
함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.
존재 문제의 경우, 수열
m
i
{\displaystyle m_{i}}
항켈 행렬 의 열
(
H
n
)
i
j
=
m
i
+
j
(
0
≤
i
,
j
≤
n
−
1
)
{\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\qquad (0\leq i,j\leq n-1)}
가 모든
n
{\displaystyle n}
양의 준정부호 이어야 한다는 것이다.
유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건 (영어 : Carleman’s condition ) 및 크레인 조건 (영어 : Krein’s condition )이라는 충분 조건이 알려져 있다.
칼레만 조건 에 따르면, 만약 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
∑
i
=
1
∞
m
2
i
−
1
/
2
i
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{2i}^{-1/2i}=+\infty }
라면, 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
m
2
i
∈
O
(
(
2
i
)
!
)
{\displaystyle m_{2i}\in {\mathcal {O}}((2i)!)}
이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.
크레인 조건 에 따르면, 만약 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
f
{\displaystyle f}
∫
−
∞
∞
−
ln
f
(
x
)
1
+
x
2
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }
를 만족시킨다면, 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열
m
i
{\displaystyle m_{i}}
Δ
n
=
(
m
0
m
1
m
2
⋯
m
n
m
1
m
2
m
3
⋯
m
n
+
1
m
2
m
3
m
4
⋯
m
n
+
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
m
n
m
n
+
1
m
n
+
2
⋯
m
2
n
)
{\displaystyle \Delta _{n}={\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{pmatrix}}}
Δ
n
(
1
)
=
(
m
1
m
2
m
3
⋯
m
n
+
1
m
2
m
3
m
4
⋯
m
n
+
2
m
3
m
4
m
5
⋯
m
n
+
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
m
n
+
1
m
n
+
2
m
n
+
3
⋯
m
2
n
+
1
)
{\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{pmatrix}}}
을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
m
n
{\displaystyle m_{n}}
n
{\displaystyle n}
det
Δ
n
>
0
{\displaystyle \det \Delta _{n}>0}
det
Δ
n
(
1
)
>
0
{\displaystyle \det \Delta _{n}^{(1)}>0}
유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건 에 따르면, 만약 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
∑
i
=
1
∞
m
i
−
1
/
2
i
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }m_{i}^{-1/2i}=+\infty }
라면, 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
크레인 조건 에 따르면, 만약 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
f
{\displaystyle f}
∫
0
∞
−
x
ln
f
(
x
)
1
+
x
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }-{\frac {{\sqrt {x}}\ln f(x)}{1+x}}\,dx<\infty }
를 만족시킨다면, 모멘트
m
i
{\displaystyle m_{i}}
하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.
수열
m
i
{\displaystyle m_{i}}
n
,
k
≥
0
{\displaystyle n,k\geq 0}
(
−
1
)
k
(
Δ
k
m
)
n
≥
0
{\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0}
인 것이다. 여기서
Δ
{\displaystyle \Delta }
(
Δ
m
)
i
=
m
i
+
1
−
m
i
{\displaystyle (\Delta m)_{i}=m_{i+1}-m_{i}}
이다.
모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리 에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.
체비쇼프-마르코프-크레인 부등식 (영어 : Chebyshev–Markov–Krein inequality )은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도 의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리 이다.
X
{\displaystyle X}
콤팩트 하우스도르프 공간 이라고 하고,
μ
{\displaystyle \mu }
K
{\displaystyle K}
측도 이며,
μ
(
x
)
<
∞
{\displaystyle \mu (x)<\infty }
U
⊂
C
(
K
;
R
)
{\displaystyle U\subset {\mathcal {C}}(K;\mathbb {R} )}
벡터 공간 이라고 하자. 또한,
U
{\displaystyle U}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle f(x)>0}
f
{\displaystyle f}
V
(
U
,
μ
)
{\displaystyle V(U,\mu )}
∫
X
u
d
μ
=
∫
X
u
d
ν
∀
u
∈
U
{\displaystyle \int _{X}u\,d\mu =\int _{X}u\,d\nu \qquad \forall u\in U}
ν
(
X
)
<
∞
{\displaystyle \nu (X)<\infty }
인 측도
ν
{\displaystyle \nu }
임의의
f
∈
L
1
(
X
,
μ
;
R
)
{\displaystyle f\in L^{1}(X,\mu ;\mathbb {R} )}
체비쇼프-마르코프-크레인 부등식 은
{
ν
∈
V
(
U
,
μ
)
:
∫
X
f
d
ν
}
{\displaystyle \left\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \right\}}
의 상한 과 하한 에 대한 부등식이다.
이 경우, 다음이 성립한다.
inf
ν
∈
V
(
U
,
μ
)
∫
X
f
d
ν
=
sup
u
∈
U
,
u
≤
f
∫
X
u
d
μ
{\displaystyle \inf _{\nu \in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sup _{u\in U,\,u\leq f}\int _{X}u\,d\mu }
따라서,
{
ν
∈
V
(
U
,
μ
)
:
∫
X
f
d
ν
}
{\displaystyle \{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \}}
{
‖
u
−
f
‖
1
:
u
∈
U
}
{\displaystyle \{\|u-f\|_{1}\colon u\in U\}}
의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의
u
0
∈
U
{\displaystyle u_{0}\in U}
동치 이다.
u
0
{\displaystyle u_{0}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
u
0
(
x
)
≤
f
(
x
)
{\displaystyle u_{0}(x)\leq f(x)}
다음 두 조건을 만족시키는
x
1
,
…
,
x
k
∈
X
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}\in X}
λ
1
,
…
,
λ
k
∈
R
+
{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R} ^{+}}
1
≤
k
≤
dim
U
{\displaystyle 1\leq k\leq \dim U}
f
(
x
i
)
=
u
0
(
x
i
)
∀
i
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle f(x_{i})=u_{0}(x_{i})\qquad \forall i=1,\dots ,k}
∫
X
u
d
μ
=
∑
i
=
1
k
λ
i
u
(
x
i
)
∀
u
∈
U
{\displaystyle \textstyle \int _{X}u\,d\mu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}u(x_{i})\qquad \forall u\in U}
이러한
{
(
x
i
,
λ
i
)
}
i
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle \{(x_{i},\lambda _{i})\}_{i=1,\dots ,k}}
inf
v
∈
V
(
U
,
μ
)
∫
X
f
d
ν
=
∑
i
=
1
k
λ
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle \inf _{v\in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}f(x_{i})}
또한, 이 하한을 포화시키는 측도
ν
{\displaystyle \nu }
ν
min
=
∑
i
=
1
k
λ
i
δ
x
i
{\displaystyle \nu _{\min }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}}
여기서
δ
x
{\displaystyle \delta _{x}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
디랙 델타 측도 이다. 즉,
δ
x
(
A
)
=
{
1
x
∈
A
0
x
∉
A
{\displaystyle \delta _{x}(A)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}
이다.
마찬가지로, 상한을 찾으려면
∫
X
−
f
d
ν
{\displaystyle \int _{X}-f\,d\nu }
닫힌구간
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
T
⊂
C
0
(
[
a
,
b
]
;
R
)
{\displaystyle T\subset {\mathcal {C}}^{0}([a,b];\mathbb {R} )}
u
∈
T
∖
{
0
}
{\displaystyle u\in T\setminus \{0\}}
u
{\displaystyle u}
n
{\displaystyle n}
T
{\displaystyle T}
체비쇼프 공간 (영어 : Chebyshev space , T-space )이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계 (영어 : Chebyshev system , 영어 : T-system )라고 한다.
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
T
{\displaystyle T}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
μ
{\displaystyle \mu }
u
∈
T
∖
{
0
}
{\displaystyle u\in T\setminus \{0\}}
u
(
x
)
≥
0
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle u(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}
∫
u
d
μ
>
0
{\displaystyle \int u\,d\mu >0}
μ
{\displaystyle \mu }
∫
a
b
u
d
μ
=
∫
a
b
u
d
ν
∀
u
∈
T
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,d\mu =\int _{a}^{b}u\,d\nu \qquad \forall u\in T}
이며
ν
=
∑
i
=
1
n
a
i
δ
(
x
i
)
(
a
≤
x
1
<
x
2
<
⋯
x
n
≤
b
)
{\displaystyle \nu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta (x_{i})\qquad (a\leq x_{1}<x_{2}<\cdots x_{n}\leq b)}
인 꼴의 측도
ν
{\displaystyle \nu }
x
n
=
b
{\displaystyle x_{n}=b}
μ
±
{\displaystyle \mu _{\pm }}
μ
{\displaystyle \mu }
주표현 (영어 : upper/lower principal representation )이라고 한다. 임의의
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
ν
∈
V
(
U
,
μ
)
{\displaystyle \nu \in V(U,\mu )}
∫
a
b
f
d
μ
−
≤
∫
a
b
f
d
μ
≤
∫
a
b
f
d
μ
+
{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d\mu _{-}\leq \int _{a}^{b}f\,d\mu \leq \int _{a}^{b}f\,d\mu _{+}}
즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.
실수선 위의 함수
f
(
x
)
=
exp
(
−
(
ln
x
)
2
)
{\displaystyle f(x)=\exp(-(\ln x)^{2})}
를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.
∫
−
∞
∞
x
n
f
(
x
)
d
x
=
{
2
e
(
n
+
1
)
2
/
4
π
2
∣
n
0
2
∤
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx={\begin{cases}2e^{(n+1)^{2}/4}{\sqrt {\pi }}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}}
그러나 크레인 조건에 따라
∫
−
∞
∞
−
ln
f
(
x
)
1
+
x
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
ln
x
)
2
1
+
x
2
d
x
=
π
3
/
4
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi ^{3}/4<\infty }
이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은
m
2
n
∼
exp
(
n
2
)
≫
(
2
n
)
!
∼
exp
(
2
n
ln
n
+
⋯
)
{\displaystyle m_{2n}\sim \exp(n^{2})\gg (2n)!\sim \exp \left(2n\ln n+\cdots \right)}
이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.
![{\displaystyle X=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96de4495b54d28b3439ca59802d8730adcb3a588)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle T\subset {\mathcal {C}}^{0}([a,b];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82d74285b302c3eabb5bb16339e0bce53085566)
![{\displaystyle u(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6261e09046cf40d71ecd9ba9bd77f2e61ccadc2)
