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하우스도르프 공간

정의편집

 
하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점  를 서로소 열린 근방  로 구분할 수 있다.

위상 공간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  라면  ,  서로소 열린 근방  가 존재한다.[1]:98
  • 임의의 두 콤팩트 집합  에 대하여, 만약   가 서로소라면,  ,  서로소 열린 근방  가 존재한다.[2]:124
  • 그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물   및 점  에 대하여, 만약  이며  라면  이다.[2]:86–87
  • 필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터   및 점  에 대하여, 만약  이며,  이며,  라면  이다.[2]:86–87
  • 임의의  에 대하여,  의 모든 닫힌 근방들의 교집합은  이다.
  • 곱공간  대각 부분 집합  닫힌집합이다.
  • 임의의 집합  에 대하여, 곱공간  대각 부분 집합닫힌집합이다.

위상 공간  가 다음 조건을 만족시킨다면,  US 공간(영어: US space)이라고 한다.[3]:262

  •   속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간  가 다음 조건을 만족시킨다면,  KC 공간(영어: KC space)이라고 한다.[3]:262

위상 공간  가 다음 조건을 만족시킨다면,  약한 하우스도르프 공간(영어: weakly Hausdorff space)이라고 한다.

  • 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간  연속 함수  에 대하여,     닫힌집합이다.

성질편집

포함 관계편집

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T) ⊊ 하우스도르프 공간(T2) ⊊[3]:262, Theorem 3.1 US 공간 ⊊[3]:262, Theorem 3.1 KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T1 공간
하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]

  • US 공간이다.
  • KC 공간이다.
  • 하우스도르프 공간이다.

연산에 대한 닫힘편집

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간편집

 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간  와 임의의 연속 함수  에 대하여,    는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간  k-닫힌집합필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간  에 대하여  닫힌집합인 것이다.

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우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간편집

양의 정수의 집합  에, 다음과 같은 기저를 주자.

 

이는 양의 정수의 서로소 위상(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.[4]

하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간편집

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.[5]

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간편집

실수선  에 새로운 점  을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

  •  의 위상에서 열린집합   에서도 열린집합이다.
  •  유한 집합이라면,  은 열린집합이다.

그렇다면  T1 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간편집

비가산 집합에, 모든 가산 집합닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

역사편집

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다[6]:213, §VII.1.

근방 공리계:

🄐 각 점  는 적어도 하나 이상의 근방  를 갖는다. 임의의 근방  는 점  를 포함한다.
🄑  ,  가 같은 점  근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방  가 존재한다 ( ).
🄒   속의 임의의 점  에 대하여,  의 부분 집합인 근방  가 존재한다 ( ).
🄓 서로 다른 두 점  ,  에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방  ,  가 존재한다 ( ).

Umgebungsaxiome:

🄐 Jedem Punkt   entspricht mindestens eine Umgebung  ; jede Umgebung   enthält den Punkt  .
🄑 Sind  ,   zwei Umgebungen desselben Punktes  , so gibt es eine Umgebung  , die Teilmenge von beiden ist ( ).
🄒 Liegt der Punkt   in  , so gibt es eine Umgebung  , die Teilmenge von   ist ( ).
🄓 Für zwei verschiedene Punkte  ,   gibt es zwei Umgebungen  ,   ohne gemeinsamen Punkt ( ).

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

악한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(영어: Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.[7]

참고 문헌편집

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 
  3. Wilansky, Albert (1967년 3월). “Between T1 and T2”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 74 (3): 261–266. JSTOR 2316017. doi:10.2307/2316017. 
  4. Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. 
  5. van Douwen, Eric K. (1993). “An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits”. 《Topology and its Applications》 (영어) 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6. 
  6. Hausdorff, Felix (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Veit & Comp. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034. 
  7. McCord, Michael C. (1969). “Classifying spaces and infinite symmetric products”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 146: 273–298. MR 0251719. doi:10.2307/1995173. 

외부 링크편집