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상한과 하한

(상한에서 넘어옴)
집합 의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소 상계가 된다.

순서론에서, 어떤 집합 T부분 집합 S에 대해 S상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈[*]) 또는 최소 상계(最小上界, 영어: least upper bound, LUB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, 영어: infimum 인파이멈[*]) 또는 최대 하계(最大下界, 영어: greatest lower bound, GLB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

정의편집

상계와 하계편집

원순서 집합  부분 집합  상계(上界, 영어: upper bound)  는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든  에 대하여,  이다.

원순서 집합  부분 집합  하계(下界, 영어: lower bound)  는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든  에 대하여,  이다.

상한과 하한편집

원순서 집합  부분 집합  상한  는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든  에 대하여, 만약   의 상계라면,  이다.

원순서 집합  부분 집합  하한  는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든  에 대하여, 만약   의 하계라면,  이다.

즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 최소 원소이며, 하한은 그 하계들의 집합의 최대 원소이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합완비 격자라고 한다.

성질편집

임의의 원순서 집합에서, 정의에 따라, 공집합  의 상한은 (만약 존재한다면)  최소 원소이며, 공집합  의 하한은 (만약 존재한다면)  최대 원소이다.

유일성편집

원순서 집합의 최소 원소들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 동치류는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약  부분 순서 집합이라면, 최소 원소최대 원소는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합  의 상한은   또는  로, 하한은   또는  로 쓴다.

존재편집

부분 순서 집합부분 집합  최대 원소  를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며,  이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

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실수전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수전순서 집합  의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은  , 하계가 없는 실수 집합의 하한은  이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간  은 상한  을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

외부 링크편집

같이 보기편집