모멘트 생성 함수

확률론통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

,

t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

계산편집

X확률밀도함수 이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.

 
 
 

이때  i번째 모멘트이며   양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

 

n개의 확률변수  가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수  에 대해서  의 확률분포는   각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.

 

예제편집

다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.

분포 모멘트생성함수 특성함수
이항 분포 B(n, p)        
푸아송 분포 Pois(λ)        
연속균등분포 U(a, b)        
정규분포 N(μ, σ2)        
카이제곱 분포 χ2k        
감마 분포 Γ(k, θ)        
지수분포 Exp(λ)        
다변량 정규분포 N(μ, Σ)        
퇴화분포 δa        
라플라스 분포 L(μ, b)        
코시 분포 Cauchy(μ, θ) 정의되지 않음    
음이항 분포 NB(r, p)        

같이 보기편집

  • 누적생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.