1차 논리 언어
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1차 논리
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-문장(즉, 자유 변수가 없는
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-논리식 )들의 집합
Sent
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
의 멱집합
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
을 생각하자.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-문장들의 집합
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
을
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-이론 (영어 : theory )이라고 한다.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-이론
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
가 다음 조건을 만족시킨다면,
T
{\displaystyle T}
를 무모순적 이론 (영어 : consistent theory )이라고 한다.
T
⊬
⊥
{\displaystyle T\not \vdash \bot }
여기서
⊥
{\displaystyle \bot }
은 거짓(모순)인 1차 논리 문장이며 (예를 들어,
∃
x
(
¬
x
=
x
)
{\displaystyle \exists x(\lnot x=x)}
),
⊢
{\displaystyle \vdash }
는 1차 논리의 추론 관계이다.
페아노 공리계
P
A
{\displaystyle {\mathsf {PA}}}
의 언어
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
는 하나의 상수
0
{\displaystyle 0}
과 하나의 1항 연산
(
−
)
+
{\displaystyle (-)^{+}}
을 포함한다.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
의 기호들이 자연수의 재귀 집합 을 이룬다고 하자 (특히, 오직 가산 개의 기호만이 존재한다). 그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-이론
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
이 무모순적인지 여부는 페아노 공리계 의 언어로 나타낼 수 있다. 이
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
-문장을
Con
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Con} (T)}
라고 한다.
상대적 무모순성 편집
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
의 이론
S
{\displaystyle S}
가 참이라고 하자. 즉,
N
⊨
S
{\displaystyle \mathbb {N} \models S}
라고 하자 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
은 자연수의
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
-구조).
그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-이론들의 집합
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
위에 다음과 같은 원순서 를 정의할 수 있다.
T
≲
S
T
′
⟺
S
⊢
(
Con
(
T
′
)
⟹
Con
(
T
)
)
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\iff S\vdash (\operatorname {Con} (T')\implies \operatorname {Con} (T))}
이것이 성립한다면,
S
{\displaystyle S}
아래
T
{\displaystyle T}
는
T
′
{\displaystyle T'}
에 대하여 상대적으로 무모순적이라고 한다. 이 원순서를 (메타이론
S
{\displaystyle S}
아래의) 상대적 무모순성 원순서 (영어 : relative consistency preorder )라고 하며,
T
{\displaystyle T}
가
T
′
{\displaystyle T'}
에 대하여 상대적으로 무모순적 (영어 : relatively consistent )이라고 한다.[1] :163, Chapter 12
T
≲
S
T
′
≲
S
T
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\lesssim _{S}T}
라면,
T
{\displaystyle T}
와
T
′
{\displaystyle T'}
이 (메타이론
S
{\displaystyle S}
아래) 등무모순적 (等無矛盾的, 영어 : equiconsistent )이라고 한다.
원순서 집합
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
의 최대 원소 는 모순적 이론이다. 반대로,
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
의 최소 원소 는
S
{\displaystyle S}
로 증명할 수 있는 문장만으로 구성된 이론이다.
만약 메타이론
S
{\displaystyle S}
를 자연수의 완전 이론
Th
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {Th} (\mathbb {N} )}
(즉,
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
에서 참인 모든
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-문장의 집합)으로 놓는다면,
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
은 물론 정확히 2개의 동치류를 갖는다 (무모순적 이론의 동치류와 모순적 이론의 동치류).
불완전성 정리 편집
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
를
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
로 해석할 수 있다고 하자. 그렇다면, 괴델의 불완전성 정리 에 따르면, 임의의 이론
T
⊆
Sent
(
L
)
{\displaystyle T\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
에 대하여, 다음이 성립한다.
(
T
⊬
Con
(
T
)
)
∨
¬
Con
(
T
)
{\displaystyle \left(T\not \vdash \operatorname {Con} (T)\right)\lor \lnot \operatorname {Con} (T)}
즉,
T
{\displaystyle T}
는 모순적이거나 아니면 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다.
보존적 확장 편집
두 이론
T
{\displaystyle T}
와
T
′
{\displaystyle T'}
이 주어졌다고 하자. 메타이론
S
{\displaystyle S}
아래, 만약
T
′
{\displaystyle T'}
이
T
{\displaystyle T}
의 보존적 확장 이라면,
T
′
{\displaystyle T'}
와
T
{\displaystyle T}
는 (메타이론
S
{\displaystyle S}
아래) 등무모순적이다.