1차 논리 언어
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
1차 논리
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
논리식 )들의 집합
Sent
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
멱집합
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
이론 (영어 : theory )이라고 한다.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
T
{\displaystyle T}
무모순적 이론 (영어 : consistent theory )이라고 한다.
T
⊬
⊥
{\displaystyle T\not \vdash \bot }
여기서
⊥
{\displaystyle \bot }
∃
x
(
¬
x
=
x
)
{\displaystyle \exists x(\lnot x=x)}
⊢
{\displaystyle \vdash }
페아노 공리계
P
A
{\displaystyle {\mathsf {PA}}}
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
0
{\displaystyle 0}
(
−
)
+
{\displaystyle (-)^{+}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
재귀 집합 을 이룬다고 하자 (특히, 오직 가산 개의 기호만이 존재한다). 그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
페아노 공리계 의 언어로 나타낼 수 있다. 이
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
Con
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Con} (T)}
상대적 무모순성 편집
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
S
{\displaystyle S}
N
⊨
S
{\displaystyle \mathbb {N} \models S}
라고 하자 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
원순서 를 정의할 수 있다.
T
≲
S
T
′
⟺
S
⊢
(
Con
(
T
′
)
⟹
Con
(
T
)
)
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\iff S\vdash (\operatorname {Con} (T')\implies \operatorname {Con} (T))}
이것이 성립한다면,
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
S
{\displaystyle S}
상대적 무모순성 원순서 (영어 : relative consistency preorder )라고 하며,
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
상대적으로 무모순적 (영어 : relatively consistent )이라고 한다.[1] :163, Chapter 12
T
≲
S
T
′
≲
S
T
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\lesssim _{S}T}
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
S
{\displaystyle S}
등무모순적 (等無矛盾的, 영어 : equiconsistent )이라고 한다.
원순서 집합
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
최대 원소 는 모순적 이론이다. 반대로,
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
최소 원소 는
S
{\displaystyle S}
만약 메타이론
S
{\displaystyle S}
Th
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {Th} (\mathbb {N} )}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
불완전성 정리 편집
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
괴델의 불완전성 정리
T
⊆
Sent
(
L
)
{\displaystyle T\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
(
T
⊬
Con
(
T
)
)
∨
¬
Con
(
T
)
{\displaystyle \left(T\not \vdash \operatorname {Con} (T)\right)\lor \lnot \operatorname {Con} (T)}
즉,
T
{\displaystyle T}
보존적 확장 편집 두 이론
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
S
{\displaystyle S}
T
′
{\displaystyle T'}
T
{\displaystyle T}
보존적 확장 이라면,
T
′
{\displaystyle T'}
T
{\displaystyle T}
S
{\displaystyle S}
