미분 형식 전기역학

미분 형식 전기역학(微分形式電氣力學, 영어: p-form electrodynamics)은 전기역학을 임의의 차수의 미분 형식에 대하여 일반화한 것이다. 일반적 전기역학에서는 1차 미분 형식인 전자기 퍼텐셜을 다루는데, 미분 형식 전기역학에서는 이를 임의의 p차 미분 형식으로 바꾼다.

정의

일반적 전기역학에서는 1차 미분 형식 $A$ (전자기 퍼텐셜)이 존재한다. 이는 진공에서 다음과 같은 맥스웰 방정식을 따른다.

$d*dA=0$

이는 다음과 같은 게이지 변환에 대하여 불변하다.

$A\to A+d\alpha$

마찬가지로, 임의의 p차 미분 형식 $B$에 대하여, 맥스웰 방정식

$d*dB=0$

과 게이지 변환

$B\to B+d\alpha$

을 정의할 수 있다.

진공이 아니라, 전하를 지닌 개체가 있다고 하자. 그렇다면 4차원 시공의 1-형식의 경우에는 전류밀도 1-형식 $J$를 도입한다. 그렇다면 이는

$d*dA=*J$

를 만족하고, 또 $J$는 연속방정식

$d*J=0$

을 만족한다. (즉 $*J$는 닫혀 있다.) 마찬가지로, D차원에서의 p-형식 전기역학에서는 전류밀도 p-형식 $J$를 도입하면,

$d*dA=*J$

$d*J=0$

과 같은 맥스웰 방정식과 연속방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 p-형식이므로, p-형식 전기역학에서는 대전된 개체는 $(p-1)$-막임을 알 수 있다.

제르브

통상적 ($p=1$) 전기역학에서, 게이지 퍼텐셜은 어떤 U(1) 선다발 $L$의 코쥘 접속이다. 시공간 $M$ 위에서, 전기 선속의 양자화에 따라, 전자기장의 코호몰로지류 $[F]=2\pi c_{1}(L)$은 정수 계수 2차 코호몰로지의 원소이다.

$[F]/2\pi =c_{1}(L)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )$

여기서 $c_{1}(L)$은 $L$의 1차 천 류이다.

일반적으로, $p$차 형식 퍼텐셜 $A^{(p)}$의 장세기 $F^{(p+1)}$의 코호몰로지류는 $p+1$차 정수 계수 코호몰로지의 원소이다.

$[F^{(p+1)}]/2\pi \in H^{p+1}(M;\mathbb {Z} )$

기하학적으로 2차 정수 계수 코호몰로지가 (1차 천 류를 통해) 선다발에 대응하는 것처럼, 고차 정수 계수 코호몰로지는 기하학적으로 제르브라는, 선다발을 일반화한 개념에 대응한다.

끈 이론과의 관계

끈 이론에서는 각종 p차형식 게이지 장이 존재한다. NS-NS에서는 캘브-라몽 장 $B_{\mu \nu }$가 2차 미분 형식을 이룬다. 끈은 1-막이므로 캘브-라몽 장에 대하여 대전된다. R-R에서는 임의의 $p$에 대한 게이지 장이 존재한다. (좀 더 정확히, IIB에서는 짝수 p, IIA에서는 홀수 p에 대한 게이지 장이 존재한다.) M이론에서는 M2-막에 해당하는 3-형식 게이지 장이 존재한다.

참고 문헌

• Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1986년 7월). “p-Form electrodynamics”. 《Foundations of Physics》 16 (7): 593-617. Bibcode:1986FoPh...16..593H. doi:10.1007/BF01889624. ISSN 0015-9018. 
• Navarro, J.; J. B. Sancho (2012). “Energy and electromagnetism of a differential k-form”. 《Journal of Mathematical Physics》 53: 102501. arXiv:1201.3504. Bibcode:2012JMP....53j2501N. doi:10.1063/1.4754817.