미적분학 에서 바이어슈트라스 치환 (-置換, 영어 : Weierstrass substitution ) 또는 탄젠트 반각 치환 (-半角置換, 영어 : tangent half-angle substitution ) 또는 t-치환 (-置換, 영어 : t-substitution )은 반각의 탄젠트 를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분 이다. 삼각 함수 의 유리 함수 를 적분 하는 데 사용된다.
모든 삼각 함수 의 유리 함수 는 어떤 2변수 유리 함수
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle R(u,v)}
에 대하여
R
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle R(\sin x,\cos x)}
와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환 은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.
tan
x
2
=
t
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t}
이 경우 다음이 성립한다.
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
x
=
2
arctan
t
,
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\;\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}
따라서
R
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle R(\sin x,\cos x)}
의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.[1] :263-264 [2] :351
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
R
(
2
t
1
+
t
2
,
1
−
t
2
1
+
t
2
)
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}
모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수 이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.[1] :264
바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.[1] :264-265 [2] :351
만약
R
(
−
u
,
v
)
=
−
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)}
라면, 이는 항상
R
(
u
,
v
)
=
u
R
1
(
u
2
,
v
)
{\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)}
꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우
cos
x
=
t
{\displaystyle \cos x=t}
와 같이 치환하는 것이 좋다.
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
sin
x
R
1
(
sin
2
x
,
cos
x
)
d
x
=
−
∫
R
1
(
1
−
t
2
,
t
)
d
t
{\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)dx=-\int R_{1}(1-t^{2},t)dt}
만약
R
(
u
,
−
v
)
=
−
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)}
라면, 이는
R
(
u
,
v
)
=
v
R
1
(
u
,
v
2
)
{\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})}
꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우
sin
x
=
t
{\displaystyle \sin x=t}
와 같이 치환하는 것이 좋다.
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
cos
x
R
1
(
sin
x
,
cos
2
x
)
d
x
=
∫
R
1
(
t
,
1
−
t
2
)
d
t
{\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}(t,1-t^{2})dt}
만약
R
(
−
u
,
−
v
)
=
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)}
라면,
R
(
u
,
v
)
=
R
1
(
u
/
v
,
v
2
)
{\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})}
꼴이므로, 이 경우
tan
x
=
t
{\displaystyle \tan x=t}
와 같이 치환하는 것이 좋다.
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
R
1
(
tan
x
,
cos
2
x
)
d
x
=
∫
R
1
(
t
,
1
1
+
t
2
)
1
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}dt}
사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
R
(
u
,
v
)
=
R
(
u
,
v
)
−
R
(
−
u
,
v
)
2
+
R
(
−
u
,
v
)
−
R
(
−
u
,
−
v
)
2
+
R
(
−
u
,
−
v
)
+
R
(
u
,
v
)
2
{\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}}
바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 (雙曲-半變數置換, 영어 : hyperbolic tangent half-argument substitution 또는 쌍곡 t-치환 (雙曲-置換, 영어 : hyperbolic t-substitution )은 쌍곡선 함수의 유리 함수
R
(
sinh
x
,
cosh
x
)
{\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)}
를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.[3] :185, Exercise 13
tanh
x
2
=
t
{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}=t}
이 경우 다음이 성립한다.
sinh
x
=
2
t
1
−
t
2
,
cosh
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
x
=
2
tanh
−
1
t
,
d
x
=
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\;\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\;x=2\tanh ^{-1}t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t}
따라서
R
(
sinh
x
,
cosh
x
)
{\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)}
의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.[4] :29
∫
R
(
sinh
x
,
cosh
x
)
d
x
=
∫
R
(
2
t
1
−
t
2
,
1
+
t
2
1
−
t
2
)
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1-t^{2}}},{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right){\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t}
따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.
다음과 같은 적분들을 생각하자.[2] :352, 例6.3.8, (3), (4) [1] :265, 例6.3.4
∫
sin
x
1
+
sin
x
d
x
,
∫
d
x
5
+
3
sin
x
+
4
cos
x
,
∫
cos
3
x
1
+
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}},\;\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x}
첫째 적분은 바이어슈트라스 치환
tan
(
x
/
2
)
=
t
{\displaystyle \tan(x/2)=t}
을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
∫
sin
x
1
+
sin
x
d
x
=
∫
4
t
(
1
+
t
)
2
(
1
+
t
2
)
d
t
=
∫
(
−
2
(
1
+
t
)
2
+
2
1
+
t
2
)
d
t
=
2
1
+
t
+
2
arctan
t
+
C
=
2
1
+
tan
(
x
/
2
)
+
x
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {4t}{(1+t)^{2}(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int \left(-{\frac {2}{(1+t)^{2}}}+{\frac {2}{1+t^{2}}}\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{1+t}}+2\arctan t+C\\&={\frac {2}{1+\tan(x/2)}}+x+C\end{aligned}}}
둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환
tan
(
x
/
2
)
=
t
{\displaystyle \tan(x/2)=t}
을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
∫
d
x
5
+
3
sin
x
+
4
cos
x
=
∫
2
5
(
1
+
t
2
)
+
6
t
+
4
(
1
−
t
2
)
d
t
=
∫
2
(
3
+
t
)
2
d
t
=
−
2
3
+
t
+
C
=
−
2
3
+
tan
(
x
/
2
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}}&=\int {\frac {2}{5(1+t^{2})+6t+4(1-t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{(3+t)^{2}}}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {2}{3+t}}+C=-{\frac {2}{3+\tan(x/2)}}+C\end{aligned}}}
셋째 적분은
R
(
sin
x
,
−
cos
x
)
=
−
R
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}
를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환
sin
x
=
t
{\displaystyle \sin x=t}
을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
∫
cos
3
x
1
+
sin
2
x
d
x
=
∫
1
−
t
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
(
2
1
+
t
2
−
1
)
d
t
=
2
arctan
t
−
t
+
C
=
2
arctan
sin
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&=\int \left({\frac {2}{1+t^{2}}}-1\right)\mathrm {d} t\\&=2\arctan t-t+C\\&=2\arctan \sin x-\sin x+C\end{aligned}}}
다음과 같은 적분을 생각하자.[4] :29, 例4
∫
d
x
1
+
2
cosh
x
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}}
이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환
tanh
(
x
/
2
)
=
t
{\displaystyle \tanh(x/2)=t}
를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
∫
d
x
1
+
2
cosh
x
=
∫
2
1
−
t
2
+
2
(
1
+
t
2
)
d
t
=
∫
2
3
+
t
2
d
t
=
2
3
arctan
t
3
+
C
=
2
3
arctan
tanh
(
x
/
2
)
3
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}&=\int {\frac {2}{1-t^{2}+2(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{3+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}+C\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {\tanh(x/2)}{\sqrt {3}}}+C\end{aligned}}}