삼각 치환

미적분학에서, 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수치환하여 적분하는 기법이다.

정의편집

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.[1]:342

 

여기서  유리 함수이며  이다. 이는  의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은  를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.[2]:533[3]:51

적분 치환 항등식
           
         
           
         
           
         

새 변수  의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.[2]:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.[1]:342[4]:482

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 이 들어간 적분편집

 
 에 대한 삼각 함수를 다시  로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.[3]:49, Example 1[5]:249, 예6.2.8

 

여기서  이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

 

그러면 다음을 얻는다.

    (치환)
  (단순화)
  (적분)
  (재치환)

이 적분은  와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:252, 예6.2.14

    (치환)
  (삼각 항등식)
  (적분)
  (삼각 항등식)
  (재치환)
  (단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

 이 들어간 적분편집

 
 에 대한 삼각 함수를 다시  로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음을 구하자.[3]:48, Example 1

 

여기서  이다. 다음을 사용하자.

 

그러면 다음을 얻는다.

    (치환)
  (단순화)
  (적분)
  (재치환)

이 적분은 치환   및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 예6.2.16

    (치환)
  (단순화)
  (변형)
  (치환)
  (적분)
  (삼각 항등식)
  (삼각 항등식)
  (재치환)
  (적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환  을 통해서도 구할 수 있다.

 이 들어간 적분편집

 
 에 대한 삼각 함수를 다시  로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

편의상  이라고 하고 다음을 구하자.[3]:50, Example 1

 

여기서  이다. 다음을 사용하자.

 

그러면 다음을 얻는다.

    (치환)
  (단순화)
  (적분)
  (재치환)

이 적분은 치환   및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 예6.2.15

    (치환)
  (단순화)
  (적분)
  (재치환)
  (적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환  를 통해서도 구할 수 있다.

정적분편집

다음과 같은 적분을 구하자.[2]:536, Example 4

 

다음을 사용하자.

 

만약  일 경우  이므로  이며, 만약  일 경우  이므로  이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

같이 보기편집

각주편집

  1. 周民强 (2010). 《数学分析习题演练》 (중국어) 1 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8. 
  2. Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101. 
  3. Gunther, Charles O.; Webb, J. Burkitt (1907). 《Integration by trigonometric and imaginary substitution》 (영어). New York: D. Van Nostrand company. LCCN 07040021. 
  4. Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598. 
  5. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析》 (중국어) 1 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 

외부 링크편집