바젤 문제

바젤 문제(Basel problem)는 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 로 수렴함을 증명하였다.[1] 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

초등적인 증명편집

1821년 오귀스탱 루이 코시는 다음과 같은 초등적인 급수의 증명법을 발표하였다. 이 급수의 수렴값을 구하는 증명에는 오일러의 테일러 급수를 통한 증명이나, 푸리에 급수정적분을 이용한 증명 등 여러가지가 있으나 코시의 증명은 미적분학을 사용하지 않는다는 점에서 가장 널리 알려진 초등적인 증명법이다.

  가 구간   내의 실수라 하고,   을 양의 홀수라 하자. 드무아브르의 공식에 의하여,

 

이항 정리를 사용하면,

 

위에서 허수부를 살펴보면 다음을 알 수 있다.

 

이제   이라 두고   에 대하여 수열을 다음과 같이 정의하자  . 이때    의 정수배이므로, 사인 함수의 영점이다. 즉,

 

  은 구간   내의 서로 다른 수이고, 함수   은 이 구간 내에서 일대일대응 함수이므로,   도 서로 다른 수이다.

이제 수열을 다음과 같이 정의하자.  . 그러면 수열  은 다음  차함수  의 영점이다.

 

근과 계수의 관계에 의하여, 방정식  의 모든 근의 합을 구하면,

 

  이므로,

 

구간   내에서 부등식  이 성립하므로,

 

 을 곱하자. 그러면

 

이제,  이 무한대로 가는 극한을 취하자. 좌변과 우변의 극한값은   이므로, 샌드위치 정리에 의하여,

 

리만 제타 함수와의 관계편집

오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

 

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

 

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

 

같이 보기편집

각주편집

  1. 오일러의 바젤문제 증명 Archived 2007년 10월 27일 - 웨이백 머신, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

참고 문헌편집

  • 베유, 앙드레 (1983), 《Number Theory: An Approach Through History》 (영어), Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0 .
  • Dunham, William (1999), 《Euler: The Master of Us All》 (영어), Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-328-0 .
  • Derbyshire, John (2003), 《Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics》 (영어), Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7 .
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), 《Proofs from THE BOOK》 (영어), Berlin, New York: Springer-Verlag 
  • Edwards, Harold M. (2001), 《Riemann's Zeta Function》 (영어), Dover, ISBN 0-486-41740-9 .

외부 링크편집