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오일러의 곱셈 공식

오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)은 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 오일러 곱(Euler product)이라고도 한다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.

여기서 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.

여기서 는 다음 급수가 된다.

이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, 이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.

리만 제타 함수의 경우 이 된다.

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레온하르트 오일러바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(라틴어: Variae observationes circa series infinitas)에 수록되었다.[1] 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.

오일러의 증명편집

오일러의 곱셈 공식에 대한 오일러의 증명은 다음과 같다.[2][3]  보다 큰 임의의 복소수  에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

 

양변에  를 곱하면  이라는 지수법칙에 의해

 

이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은  로 정리되고 우변에는 홀수의  제곱 항만이 남게 되므로

 

을 얻는다. 이제 위의 결과에  를 곱하면

 

이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면

 

이 되며 우변의 분모에서  의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수  에 대하여 계속 반복하면

 

을 얻는다. 지수법칙에 의해  이므로, 위 식은

 

과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에  만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면,

 

와 같이 오일러의 곱셈 공식을 유도할 수 있다. 이 증명법은 에라토스테네스의 체에 기초한 증명 방법이다.

오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들편집

아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들이다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 리만 제타 함수
 
 
 아페리 상수
  (OEIS의 수열 A065476)

같이 보기편집

각주편집

  1. 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 승산, 2006, 154쪽, ISBN 978-89-88907-88-7
  2. 존 더비셔, 같은 책, 149-153쪽
  3. Euler Product Formula Archived 2009년 7월 25일 - 웨이백 머신, myyn.org, 2007-07-16에 읽어 봄