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환론에서, 반단순 가군(半單純加群, 영어: semisimple module)은 단순 가군들의 직합으로 분해되는 가군이다.

정의편집

  위의 왼쪽 가군  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 왼쪽 반단순 가군이라고 한다.

  • 왼쪽 단순 가군들의 직합으로 나타낼 수 있다. 즉,  가 되는 단순 가군의 집합  이 존재한다.
  •  의 모든 단순 부분 가군들의 합이다. 즉,  의 단순 부분 가군들이  일 때,  로 정의한다면,  이다. (여기서   의 원소의 합이다.)
  • 임의의 부분 가군  에 대하여,  인 왼쪽 가군  가 존재한다.
  •  이다. 여기서  가군의 주각이다.

오른쪽 반단순 가군도 마찬가지로 정의된다.

성질편집

반단순 가군의 부분 가군과 몫가군 역시 반단순 가군이다.

반단순 가군들의 직합 역시 반단순 가군이다.

  위의 반단순 가군  자기준동형환  폰 노이만 정칙환이다 (따라서 반원시환이다).

반단순환 위의 모든 가군은 반단순 가군이다.

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나눗셈환   위의 모든 가군은 반단순 가군이다. (이는 나눗셈환은 반단순환이기 때문이다.) 이 경우, 단순 가군은 나눗셈환   스스로이며, 모든 자유 가군은  의 직합과 동형이다. 특히, 체 위의 모든 벡터 공간은 반단순 가군이다.

정수환   위의 가군은 아벨 군이며, 정수환 위의 단순 가군은 (아벨 군단순군이므로) 소수 크기의 순환군  이다. 따라서, 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

외부 링크편집