정수
소수 또는 소수점 구성 요소 없이 쓸 수 있는 숫자
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수학에서 정수(整數, 문화어: 옹근수, integer)는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n), 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수의 체계이다. 또는 자연수, 자연수의 음수 및 영을 통칭하는 말이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 이다.
정의
편집정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.
이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.
그렇다면 정수의 집합 는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다.이러한 구성 방법은 일반적으로 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.
성질
편집대수적 성질
편집자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.
덧셈 | 곱셈 | |
---|---|---|
닫힘 | a + b 은 정수 | a × b 은 정수 |
결합법칙 | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
교환법칙 | a + b = b + a | a × b = b × a |
항등원 | a + 0 = a | a × 1 = a |
역원 | a + (−a) = 0 | -------- |
분배법칙 | (a × b) + (a × c)=a × (b + c) |
관련 개념
편집같이 보기
편집외부 링크
편집- “Integer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Integer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Integer”. 《nLab》 (영어).
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