반사 원리 (영어 : reflection principle )는 복소수 의 켤레성 에 관련된 해석학 의 정리 중 하나이다. 헤르만 아만두스 슈바르츠 가 제출하였으므로 슈바르츠의 반사 원리 라고도 한다. 다음과 같이 공식화될 수 있다:
복소평면 상에서 D가 x축의 선분 을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고 f가 D에서의 정칙함수 라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\overline {z}})}
일 필요충분조건은 (x,0)∈D에 대해 f(x,0)가 실수인 것이다.
(→)
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}
라 놓으면, 만약
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\overline {z}})}
이라면
u
(
x
,
y
)
−
i
v
(
x
,
y
)
=
u
(
x
,
−
y
)
+
i
v
(
x
,
−
y
)
{\displaystyle u(x,y)-iv(x,y)=u(x,-y)+iv(x,-y)}
가 성립한다. 이제
y
=
0
{\displaystyle y=0}
을 대입하고 양 변에서
u
(
x
,
0
)
{\displaystyle u(x,0)}
을 소거하면
v
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle v(x,0)=0}
을 얻는다.
(←) D에서
f
(
x
,
0
)
{\displaystyle f(x,0)}
이 실수라 가정하자. 이때
f
(
z
)
=
f
(
z
¯
)
¯
{\displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}
인 것을 보이면 된다. 먼저 우변의 함수가 코시-리만 방정식 을 만족하는 것은 간단한 대수적 전개로 알 수 있다. 그러므로 우변의 함수는 정칙이다. 또한 D 중 실수축 부분에서 좌변과 우변이 일치하는 것 역시 위에서와 유사한 논리로 간단하게 증명할 수 있다.
이제
f
(
z
)
−
f
(
z
¯
)
¯
=
g
(
z
)
{\displaystyle f(z)-{\overline {f({\overline {z}})}}=g(z)}
라 놓자. 그러면 D에서
g
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle g(x,0)=0}
이다. 그런데 항등 정리 에 의하면, 어떤 해석함수 f가 영역 D에서
{
z
∈
D
:
f
(
z
)
=
0
}
{\displaystyle \{z\in D:f(z)=0\}}
의 극점을 가지면 D에서
f
=
0
{\displaystyle f=0}
이어야 한다. 따라서, 증명이 끝난다.
고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005