항등 정리

복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 두 정칙 함수 $f,g\colon D\to \mathbb {C}$가 주어졌고, 집합

$\{z\in D\colon f(z)=g(z)\}$

가 $D$에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 $z\in D$에 대하여 $f(z)=g(z)$이다.^:209

특히, 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$의 영점의 집합은 $D$ 전체이거나, $D$에서 극한점을 갖지 않는다.^{:208, Theorem 10.18} 후자의 경우, $f$의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

증명

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$의 영점의 집합이 $D$에 속하는 극한점 $z_{0}\in D$를 갖는다고 하자. 또한,

$S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots \}$

라고 하자. 그렇다면 $S=D$임을 보이는 것으로 족하다.

우선 $S\neq \varnothing$임을 보이자. $z_{0}\in S$를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 $z_{0}\not \in S$라고 하자. 그렇다면

$m=\min\{n\geq 0\colon f^{(n)}(z_{0})\neq 0\}$

이 정의된다. $f$는 연속 함수이므로, $f(z_{0})=0$이며, 따라서 $m\geq 1$이다. $\operatorname {B} (z_{0},r)\subseteq D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, 임의의 $z\in \operatorname {B} (z_{0},r)$에 대하여,

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$

이다. 즉, 정칙 함수 $g\colon \operatorname {B} (z_{0},r)\to \mathbb {C}$를

$g(z)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n-m}\qquad (z\in \operatorname {B} (z_{0},r))$

와 같이 정의할 경우,

$g(z_{0})={\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}\neq 0$

이고, 임의의 $z\in \operatorname {B} (z_{0},r)$에 대하여

$f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)$

이다. 따라서 $r$을 충분히 작게 다시 정의할 경우 $g$가 $\operatorname {B} (z_{0},r)$에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 $f$는 $\operatorname {B} (z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$에서 영점을 갖지 않는다. 이는 $z_{0}$이 $E$의 극한점인 데 모순이다.

이제 $S$가 열린집합임을 보이자. 임의의 $z_{1}\in S$를 고정하고, $\operatorname {B} (z_{1},r)\subseteq D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, $f$는 $z_{1}$에서 정칙 함수이므로, 임의의 $z\in \operatorname {B} (z_{1},r)$에 대하여

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}(z-z_{1})^{n}=0$

이다. 즉, $z\in S$이며, 따라서 $z_{1}$은 $S$의 내부점이다.

마지막으로 $S$가 $D$의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 $z_{2}\in S'\cap D$를 고정하자. (여기서 $(-)'$는 $\mathbb {C}$에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 $n\geq 0$에 대하여, $f^{(n)}$이 연속 함수이므로 $f^{(n)}(z_{2})=0$이다. 즉, $z_{2}\in S$이다.

즉, $S$는 $D$의 열린닫힌집합이며, $S\neq \varnothing$이다. $D$는 연결 집합이므로, $S=D$이다. 특히, 임의의 $z\in D$에 대하여, $f(z)=0$이다.

예

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 $U\subseteq \mathbb {C}$가 두 연결 성분 $D,U\setminus D$를 가질 때, 함수

$f\colon U\to \mathbb {C}$

$f(z)={\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}}\qquad (z\in U)$

는 정칙 함수이며, 영점 집합 $D$는 정의역 $U$ 전체가 아니지만, $D$는 $U$에서 $D$의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.^:210

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

$f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

$f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})$

의 영점 집합

$\left\{{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}$

은 $0\not \in \mathbb {C} \setminus \{0\}$을 극한점으로 한다.^{:97, §3.4, 예3}

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-1/x^{2}\right)\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )$

는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

$\left\{0,{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}$

의 극한점이다.^{:96, §3.4, 예2}

같이 보기

• 반사 원리
• 해석적 연속

참고 문헌

• 강승필 (2007). 《해설 복소함수론》. 경문사.