영상법 (映像法, method of images )은 라플라스 방정식 의 경계값 문제 를 좀 더 쉬운 다른 문제로 바꾸어 푸는 방법이다. 영상법의 타당성은 유일성의 정리에 의해 증명된다. 이 때, 바뀐 문제에서는 원래 문제의 전하에 대응하는 가상의 전하를 추가하므로, 이 가상의 전하를 마치 거울에 비치는 영상에 비유한 것이다.
평면에서의 영상법 구면에서의 영상법. 무한한 도체 평면 위에 전하가 있다고 하자. 그렇다면 정전기 유도 에 의하여 도체 표면에 전하가 유도된다. 이러한 계 에서 공간 모든 위치의 전위 를 계산하는 정전기학 문제를 생각해 보자. 도체 표면 위의 전위 는 일정하므로, 이를 편의상 0으로 놓자.
이러한 문제는 직접 계산하기 힘들지만, 그림과 같이 평면 반대쪽에 정확하게 같은 위치에 있지만 그 부호가 다른 전하를 가상으로 추가하고, 도체 평면을 없애자. 이 문제는 비교적 쉽게 풀 수 있다. 이 새로운 문제에서는 대칭에 따라 서로 부호가 다른 두 전하 정중앙에서는 전위가 정확히 0이다. 즉, 새로운 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건 (즉, 평면 위에 전위가 0인 것)을 만족한다. 라플라스 방정식 의 경계 조건을 만족시키는 해는 유일하므로, 원래 문제의 해는 새로운 문제의 해와 (도체 위의 부분에서) 같다.
가장 간단한 예는 그림과 같이 하나의 점전하 가 있는 경우지만, 임의의 전하 분포에 대해서도 사용할 수 있다.
선형 유전체는
P
=
ϵ
0
χ
e
E
{\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }
χ
e
{\displaystyle \chi _{e}}
q
{\displaystyle q}
ρ
b
=
−
∇
⋅
P
=
−
∇
⋅
(
ϵ
0
χ
e
ϵ
D
)
=
−
(
χ
e
1
+
χ
e
)
ρ
f
{\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} =-\nabla \cdot \left(\epsilon _{0}{\frac {\chi _{e}}{\epsilon }}\mathbf {D} \right)=-\left({\frac {\chi _{e}}{1+\chi _{e}}}\right)\rho _{f}}
q
f
=
q
{\displaystyle q_{f}=q}
q
b
=
−
χ
e
1
+
χ
e
q
{\displaystyle q_{b}=-{\frac {\chi _{e}}{1+\chi _{e}}}q}
q
t
o
t
a
l
=
q
f
+
q
b
=
1
1
+
χ
e
q
{\displaystyle q_{total}=q_{f}+q_{b}={\frac {1}{1+\chi _{e}}}q}
ϵ
r
=
1
+
χ
e
{\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}}
q
t
o
t
a
l
=
1
ϵ
r
q
{\displaystyle q_{total}={\frac {1}{\epsilon _{r}}}q}
진공에 놓인 도체 평판과 동일하게,
z
>
0
{\displaystyle z>0}
ϵ
1
{\displaystyle \epsilon _{1}}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
ϵ
2
{\displaystyle \epsilon _{2}}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
d
{\displaystyle d}
q
{\displaystyle q}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
q
′
{\displaystyle q'}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
q
″
{\displaystyle q''}
V
u
p
=
1
4
π
ϵ
1
[
q
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
q
′
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
V
d
o
w
n
=
1
4
π
ϵ
2
[
q
″
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
]
{\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
V
u
p
=
V
d
o
w
n
{\displaystyle V_{up}=V_{down}}
D
u
p
⊥
=
D
d
o
w
n
⊥
{\displaystyle \mathbf {D} _{up}^{\perp }=\mathbf {D} _{down}^{\perp }}
D
⊥
=
ϵ
E
⊥
=
−
ϵ
∂
V
∂
n
{\displaystyle \mathbf {D} ^{\perp }=\epsilon \mathbf {E} ^{\perp }=-\epsilon {\frac {\partial V}{\partial n}}}
ϵ
1
∂
V
u
p
∂
z
=
ϵ
2
∂
V
d
o
w
n
∂
z
{\displaystyle \epsilon _{1}{\frac {\partial V_{up}}{\partial z}}=\epsilon _{2}{\frac {\partial V_{down}}{\partial z}}}
ρ
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
q
′
{\displaystyle q'}
q
″
{\displaystyle q''}
1
4
π
ϵ
1
[
q
d
ρ
2
+
d
2
+
q
′
d
ρ
2
+
d
2
]
=
1
4
π
ϵ
2
[
q
″
d
ρ
2
+
d
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q'd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}
ϵ
1
4
π
ϵ
1
[
q
d
ρ
2
+
d
2
3
−
q
′
d
ρ
2
+
d
2
3
]
=
ϵ
2
4
π
ϵ
2
[
q
″
d
ρ
2
+
d
2
3
]
{\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q'd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}
이를 다시
q
′
{\displaystyle q'}
q
″
{\displaystyle q''}
ϵ
2
q
+
ϵ
2
q
′
=
ϵ
1
q
″
{\displaystyle \epsilon _{2}q+\epsilon _{2}q'=\epsilon _{1}q''}
q
−
q
′
=
q
″
{\displaystyle q-q'=q''}
따라서, 영상전하는
q
′
=
ϵ
r
1
−
ϵ
r
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
q
{\displaystyle q'={\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}q}
q
″
=
2
ϵ
r
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
q
{\displaystyle q''={\frac {2\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}q}
V
u
p
=
q
4
π
ϵ
1
[
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
ϵ
r
1
−
ϵ
r
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
V
d
o
w
n
=
q
4
π
ϵ
0
[
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
]
{\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {2}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}
먼저 입자에 의한 전기장에 의해 유도되는 구속 전하를 계산해 선형 유전체 내에서의 상황을 진공에서의 상황으로 바꾸어 접근할 수 있다. 입자를 유전체 내부에 위치했을 때 전위에 관여하는 전하는 4개이다.
유전체 내부에 위치한 점전하
q
{\displaystyle q}
점전하 주위로 유도되는 구속 전하
위쪽 경계면에 유도되는 구속 전하
아래쪽 경계면에 유도되는 구속 전하 선형 유전체 경계면에서의 영상법 1, 2에 의한 총전하량은
q
t
o
t
a
l
=
1
ϵ
r
1
q
{\displaystyle q_{total}={\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}q}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
d
{\displaystyle d}
q
′
{\displaystyle q'}
V
u
p
=
1
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
q
′
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
이때, 유전체에 의한 효과를 구속 전하로 치환해 전위를 구할 때 유전체의 효과를 나타내는
ϵ
1
{\displaystyle \epsilon _{1}}
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
V
d
o
w
n
=
1
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
q
″
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
]
{\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q''}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}
이때, 대칭적 구조에 의해 영상 전하는
z
>
0
{\displaystyle z>0}
ρ
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
q
′
{\displaystyle q'}
q
″
{\displaystyle q''}
1
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
d
ρ
2
+
d
2
+
q
′
d
ρ
2
+
d
2
]
=
1
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
d
ρ
2
+
d
2
+
q
″
d
ρ
2
+
d
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q'd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q''d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}
ϵ
1
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
d
ρ
2
+
d
2
3
−
q
′
d
ρ
2
+
d
2
3
]
=
ϵ
2
4
π
ϵ
0
[
1
ϵ
r
1
q
d
ρ
2
+
d
2
3
+
q
″
d
ρ
2
+
d
2
3
]
{\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q'd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}+{\frac {q''d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}
이를 다시
q
′
{\displaystyle q'}
q
″
{\displaystyle q''}
q
′
=
q
″
{\displaystyle q'=q''}
q
−
ϵ
r
1
q
′
=
ϵ
r
2
ϵ
r
1
q
+
ϵ
r
2
q
″
{\displaystyle q-\epsilon _{r_{1}}q'={\frac {\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}}}q+\epsilon _{r_{2}}q''}
따라서, 영상 전하는
q
′
=
q
″
=
ϵ
r
1
−
ϵ
r
2
ϵ
r
1
(
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
)
q
{\displaystyle q'=q''={\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}(\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}})}}q}
V
u
p
=
q
4
π
ϵ
1
[
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
ϵ
r
1
−
ϵ
r
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
V
d
o
w
n
=
q
4
π
ϵ
1
[
2
ϵ
r
1
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
]
{\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {2\epsilon _{r_{1}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}
ϵ
1
=
ϵ
r
1
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{r_{1}}\epsilon _{0}}
각 경우에 구한 전위를 바탕으로 공간에 유도되는 전하를 계산했을때, 유도 전하량과 영상법을 사용할 때 임의로 잡은 영상 전하의 전하량이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 영상 전하의 기원은 실제로 유도되는 전하의 분포에서 온다고 볼 수 있다.
영상법을 이용해 구한 전위는
V
=
1
4
π
ϵ
0
[
q
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
−
q
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
σ
=
−
ϵ
0
∂
V
∂
n
=
−
ϵ
0
∂
V
∂
z
|
z
=
0
{\displaystyle \left.\sigma =-\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial n}}=-\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0}}
σ
(
ρ
)
=
−
q
d
2
π
(
ρ
2
+
d
2
)
3
/
2
{\displaystyle \sigma (\rho )={\frac {-qd}{2\pi (\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}}
따라서 유도되는 총 전하량은
Q
=
∫
σ
d
a
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
−
q
d
2
π
(
ρ
2
+
d
2
)
3
/
2
ρ
d
r
d
ϕ
=
−
q
{\displaystyle Q=\int \sigma da=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {-qd}{2\pi (\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}\rho drd\phi =-q}
즉, 도체 표면에 실제로 유도되는 전하량은 도체 위에 위치한 전하량과 크기는 같고 부호는 반대이다.
영상법을 이용해 구한 전위는
V
u
p
=
q
4
π
ϵ
1
[
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
+
ϵ
r
1
−
ϵ
r
2
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
+
d
)
2
]
{\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}
V
d
o
w
n
=
q
4
π
ϵ
1
[
2
ϵ
r
1
ϵ
r
1
+
ϵ
r
2
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
]
{\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {2\epsilon _{r_{1}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}
마찬가지로 각 표면에 유도되는 구속 전하는
σ
b
=
−
ϵ
0
[
∂
V
∂
z
|
z
=
0
+
−
∂
V
∂
z
|
z
=
0
−
]
=
q
4
π
d
(
ρ
2
+
d
2
)
3
/
2
[
2
(
ϵ
2
−
ϵ
1
)
ϵ
1
(
ϵ
1
+
ϵ
2
)
]
{\displaystyle \sigma _{b}=-\epsilon _{0}\left[\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{+}}-\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{-}}\right]={\frac {q}{4\pi }}{\frac {d}{(\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}\left[{\frac {2(\epsilon _{2}-\epsilon _{1})}{\epsilon _{1}(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}}\right]}
이때 표면에 유도되는 전하량은
q
b
s
u
r
f
a
c
e
=
ϵ
1
−
ϵ
2
ϵ
1
(
ϵ
1
+
ϵ
2
)
q
{\displaystyle q_{b_{surface}}={\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}}q}
![{\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7bfe0f2211b04072007331ed7a7e6dd50bf2f5)
![{\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0af7cc21cbc59e2ebc8d5319c75cfb401eb731)
![{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q'd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71638363fa6d511fe598eaf6d47885f13eb497a7)
![{\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q'd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q''d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54daad5718dcb1ca6c111d1b48ae7f74473f3755)
![{\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fd17f3d5c7f06f6bda47557c9c730913a5fee2)
![{\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {2}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcee4b2f64a38174c21779758a9c735b8b2bc0af)
![{\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54f083e3c7e4a6878ebaaaa8f22490ba7d7b155)
![{\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q''}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f08d2b15b152f7ce73a7d373bd889a3b74dd92)
![{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q'd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q''d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692eeb64421c0c13e01bcb3437c71b82483ccaf4)
![{\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q'd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}+{\frac {q''d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829bae170f6373e463c8e87c9ccece470447f2c3)
![{\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {2\epsilon _{r_{1}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d71d2cc454cd3902ebaa01f16bbedb318c73f68)
![{\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe59bca2557e9d12818b82e8444fa43bfbc86a5)
![{\displaystyle \sigma _{b}=-\epsilon _{0}\left[\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{+}}-\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{-}}\right]={\frac {q}{4\pi }}{\frac {d}{(\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}\left[{\frac {2(\epsilon _{2}-\epsilon _{1})}{\epsilon _{1}(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05316940f7c71bddbaf0aab100e892aef4536c52)
