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군론에서, 반직접곱(半直接-, 영어: semidirect product) 또는 반직적(半直積)은 두 곱집합의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 직접곱을 일반화한 개념이다.

목차

정의편집

  이라고 하자.   자기동형사상군이라고 하고,  군 준동형이라고 하자. 즉,   를 통해   위에 작용한다. 그렇다면 곱집합  에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.

 

이 연산은 의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합  에 이 연산을 가진 구조를    를 통한 반직접곱  라고 한다.

성질편집

 라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

 .

즉,  이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

 

을 생각해 보자.  이므로, 반직접곱  은 항상 직접곱  밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론  이다.

충분 조건편집

슈어-차센하우스 정리(영어: Schur–Zassenhaus theorem)에 따르면, 만약 유한군   및 정규 부분군  이 주어졌고, 만약   서로소라면 (즉,  홀 부분군이라면),    의 반직접곱이다. 이는 이사이 슈어한스 차센하우스가 증명하였다.

외부 링크편집

같이 보기편집