분할 완전열

호몰로지 대수학에서 분할 완전열(分割完全列, 영어: split exact sequence)은 일부 사상이 일종의 역원을 가져서, 가운데의 대상을 좌·우의 대상들의 합성으로 볼 수 있게 하는 짧은 완전열이다.

정의

핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열

$0\to X{\xrightarrow {a}}Y{\xrightarrow {b}}Z\to 0$

이 존재한다고 하자. 이 완전열에 대하여,

• 만약 $a$가 분할 단사 사상이라면 (즉, ${\tilde {a}}\circ a=1_{X}$인 ${\tilde {a}}\colon Y\to X$가 존재한다면), 이 완전열이 왼쪽 분할 완전열(영어: left-split exact sequence)이라고 한다.
• 만약 $b$가 분할 전사 사상이라면 (즉, $b\circ {\tilde {b}}=1_{Z}$인 ${\tilde {b}}\colon Z\to Y$가 존재한다면), 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열(영어: right-split exact sequence)이라고 한다.

분할 보조정리에 따르면, 아벨 범주에서의 짧은 완전열 $0\to X\to Y\to Z\to 0$에 대하여 다음 명제들이 서로 동치이다.

• $X\to Y\to Z$는 왼쪽 분할 완전열이다.
• $X\to Y\to Z$는 오른쪽 분할 완전열이다.
• $Y\cong X\oplus Z$이며, 이 경우 ${\tilde {a}}$와 $b$는 $X\oplus Z$에서 $X$ 또는 $Z$로 가는 사영 사상이다.

아벨 범주에서, 이 조건을 만족시키는 짧은 완전열을 분할 완전열이라고 한다. 즉, 분할 완전열에서는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

$0\to X{{\xrightarrow {a}} \atop {\xleftarrow[{\tilde {a}}]{}}}Y{{\xrightarrow {b}} \atop {\xleftarrow[{\tilde {b}}]{}}}Z\to 0$

군의 범주에서의 분할 완전열

군의 범주 $\operatorname {Grp}$는 아벨 범주가 아니며, 분할 보조정리가 성립하지 않는다. 군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.

• $X\to Y\to Z$는 왼쪽 분할 완전열이다.
• $Y\cong X\times Z$이며, 이 경우 ${\tilde {a}}$와 $b$는 $X\times Z$에서 $X$ 또는 $Z$로 가는 사영 사상이다.

군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.

• $X\to Y\to Z$는 오른쪽 분할 완전열이다.
• $Y$는 반직접곱 $X\rtimes Z$와 동형이다. 이 경우 ${\tilde {b}}$는 포함 사상 $Z\hookrightarrow Y$이다.

왼쪽 분할 조건은 오른쪽 분할 조건을 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

외부 링크

• “Split sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Split exact sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Split exact sequence”. 《nLab》 (영어).