곱집합

집합 A = {x, y, z}와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B.

52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것

52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 {♠, ♥, ♣, ♦}과 숫자의 집합 {2, ..., 10, J, Q, K, A}의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서, 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트^[*])는 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 $A,B$ 의 곱집합 $A\times B$ 는 $\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}$ 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

정의편집

첨수족 $\{A_{i}\}_{i\in I}$ 의 곱집합 $\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}$ 는 다음과 같다.

\prod _{i\in I}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A_{i}\}

특히, 유한 개의 집합 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ 의 곱집합 $A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}$ 은 다음과 같다.

A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})|a_{i}\in A_{i}\}

집합 $A,I$ 에 대하여, $A$ 의 $I$ 번 곱집합 $A^{I}$ 는 다음과 같다.

A^{I}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A\}

특히, 집합 $A$ 와 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $A$ 의 $\alpha$ 번 곱집합 $A^{\times \alpha }$ 는 다음과 같다.

A^{\times \alpha }=\{(a_{\beta })_{\beta <\alpha }|a_{\beta }\in A\}

특히, 집합 $A$ 및 음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $A$ 의 $n$ 번 곱집합 $A^{\times n}$ 은 다음과 같다.

A^{\times n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})|a_{i}\in A\}

성질편집

분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].

(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊋ (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

(기수의 곱의 정의) $|A\times B|=|A||B|$
(기수의 거듭제곱의 정의) $|A^{B}|=|A|^{|B|}$
$\varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing$
(교환 법칙의 실패) $A\times B=B\times A\Longleftrightarrow A=\varnothing \lor B=\varnothing \lor A=B$
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $(a,b)\mapsto (b,a)$ 가 존재한다.
(결합 법칙의 실패) $(A\times B)\times C=A\times (B\times C)\Longleftrightarrow A=\varnothing \lor B=\varnothing \lor C=\varnothing$
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))$ 가 존재한다.
(분배 법칙) $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
(분배 법칙) $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
(분배 법칙) $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$
$\prod _{i\in I}\bigcup _{j\in J}A_{ij}\supseteq \bigcup _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}$
$\prod _{i\in I}\bigcap _{j\in J}A_{ij}=\bigcap _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}$
다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- $\prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}B_{i}$
- $A_{i}=\varnothing$ 인 $i\in I$ 가 존재하거나, 임의의 $i\in I$ 에 대하여 $A_{i}\subseteq B_{i}$ 이다.
다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- $\prod _{i\in I}A_{i}=\varnothing$
- $A_{i}=\varnothing$ 인 $i\in I$ 가 존재한다.
곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
$\pi _{i}\colon \prod _{i\in I}A_{i}\to A$

$\pi _{i}\colon (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{i}$
(보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 $\{f_{i}\colon B\to A_{i}\}_{i\in I}$ 에 대하여, $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ ( $i\in I$ )를 만족시키는 유일한 함수 $f\colon B\to \prod _{i\in I}A_{i}$ 가 존재한다.

예편집

직교 좌표 평면

\mathbb {R} ^{2}

은 실수선

\mathbb {R}

과 자기 자신의 곱집합이다.

$\{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$
$\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}$
$\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb {R} \}$