곱집합

집합 A = {x, y, z}와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B.

52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 {♠, ♥, ♣, ♦}과 숫자의 집합 {2, ..., 10, J, Q, K, A}의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서, 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트^[*])는 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 $A,B$의 곱집합 $A\times B$는 $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

정의

첨수족 $\{A_{i}\}_{i\in I}$의 곱집합 $\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}$는 다음과 같다.

$\prod _{i\in I}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A_{i}\}$

특히, 유한 개의 집합 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$의 곱집합 $A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}$은 다음과 같다.

$A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})|a_{i}\in A_{i}\}$

집합 $A,I$에 대하여, $A$의 $I$번 곱집합 $A^{I}$는 다음과 같다.

$A^{I}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A\}$

특히, 집합 $A$와 순서수 $\alpha$에 대하여, $A$의 $\alpha$번 곱집합 $A^{\times \alpha }$는 다음과 같다.

$A^{\times \alpha }=\{(a_{\beta })_{\beta <\alpha }|a_{\beta }\in A\}$

특히, 집합 $A$ 및 음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $A$의 $n$번 곱집합 $A^{\times n}$은 다음과 같다.

$A^{\times n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})|a_{i}\in A\}$

성질

분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].

(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊋ (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

• (기수의 곱의 정의) $|A\times B|=|A||B|$
• (기수의 거듭제곱의 정의) $|A^{B}|=|A|^{|B|}$
• $\varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing$
• (교환 법칙의 실패) $A\times B\neq B\times A\qquad (A,B\neq \varnothing ,\;A\neq B)$
  • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $(a,b)\mapsto (b,a)$가 존재한다.
• (결합 법칙의 실패) $(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)\qquad (A,B,C\neq \varnothing )$
  • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))$가 존재한다.
• (분배 법칙) $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
• (분배 법칙) $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
• (분배 법칙) $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$
• $\prod _{i\in I}\bigcup _{j\in J}A_{ij}\supseteq \bigcup _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}$
• $\prod _{i\in I}\bigcap _{j\in J}A_{ij}=\bigcap _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}$
• 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
  • $\prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}B_{i}$
  • $A_{i}=\varnothing$인 $i\in I$가 존재하거나, 임의의 $i\in I$에 대하여 $A_{i}\subseteq B_{i}$이다.
• 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
  • $\prod _{i\in I}A_{i}=\varnothing$
  • $A_{i}=\varnothing$인 $i\in I$가 존재한다.
• 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.

  $\pi _{i}\colon \prod _{i\in I}A_{i}\to A$

  $\pi _{i}\colon (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{i}$

• (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 $\{f_{i}\colon B\to A_{i}\}_{i\in I}$에 대하여, $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ ($i\in I$)를 만족시키는 유일한 함수 $f\colon B\to \prod _{i\in I}A_{i}$가 존재한다.

예

직교 좌표 평면 $\mathbb {R} ^{2}$은 실수선 $\mathbb {R}$과 자기 자신의 곱집합이다.

• $\{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$
• $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}$
• $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb {R} \}$

역사

르네 데카르트의 이름을 땄다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cartesian product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cartesian product”. 《nLab》 (영어). 
• “Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Generalized Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Cartesian product”. 《ProofWiki》 (영어).