곱집합
집합론에서 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트[*])은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 는 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.
정의편집
첨수족 의 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 유한 개의 집합 의 곱집합 은 다음과 같다.
집합 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 집합 와 순서수 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 집합 및 음이 아닌 정수 에 대하여, 의 번 곱집합 은 다음과 같다.
성질편집
- (기수의 곱의 정의)
- (기수의 거듭제곱의 정의)
- (교환 법칙의 실패)
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
- (결합 법칙의 실패)
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
- (분배 법칙)
- (분배 법칙)
- (분배 법칙)
- 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- 인 가 존재하거나, 임의의 에 대하여 이다.
- 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- 인 가 존재한다.
- 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
- (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 에 대하여, ( )를 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.
예편집
역사편집
르네 데카르트의 이름을 땄다.
외부 링크편집
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cartesian product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Cartesian product”. 《nLab》 (영어).
- “Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Generalized Cartesian product”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Definition:Cartesian product”. 《ProofWiki》 (영어).