집합론 에서 곱집합 (곱集合, 영어 : product set , product ) 또는 데카르트 곱 (Descartes곱, 영어 : Cartesian product 카티지언 프로덕트[* ] )은 각 집합 의 원소를 각 성분으로 하는 튜플 들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
{
(
a
,
b
)
|
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle \{(a,b)|a\in A,b\in B\}}
직접곱 이며, 집합의 범주 에서의 곱 이다.
집합 A = {x , y , z }와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B . 52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 ♠, ♥ , ♣, ♦ } 과 숫자의 집합 2, ..., 10, J, Q, K, A} 의 곱집합이라 생각할 수 있다.
첨수족
{
A
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}
∏
i
∈
I
A
i
{\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}
∏
i
∈
I
A
i
=
{
(
a
i
)
i
∈
I
|
a
i
∈
A
i
}
{\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A_{i}\}}
특히, 유한 개의 집합
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}
A
1
×
A
2
×
⋯
×
A
n
{\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}}
A
1
×
A
2
×
⋯
×
A
n
=
{
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
|
a
i
∈
A
i
}
{\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})|a_{i}\in A_{i}\}}
집합
A
,
I
{\displaystyle A,I}
A
{\displaystyle A}
I
{\displaystyle I}
A
I
{\displaystyle A^{I}}
A
I
=
{
(
a
i
)
i
∈
I
|
a
i
∈
A
}
{\displaystyle A^{I}=\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A\}}
특히, 집합
A
{\displaystyle A}
순서수
α
{\displaystyle \alpha }
A
{\displaystyle A}
α
{\displaystyle \alpha }
A
×
α
{\displaystyle A^{\times \alpha }}
A
×
α
=
{
(
a
β
)
β
<
α
|
a
β
∈
A
}
{\displaystyle A^{\times \alpha }=\{(a_{\beta })_{\beta <\alpha }|a_{\beta }\in A\}}
특히, 집합
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
×
n
{\displaystyle A^{\times n}}
A
×
n
=
{
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
|
a
i
∈
A
}
{\displaystyle A^{\times n}=\{(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})|a_{i}\in A\}}
분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7]. (A ∪ B ) × (C ∪ D ) ⊋ (A × C ) ∪ (B × D ). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4]. (A ∩ B ) × (C ∩ D ) = (A × C ) ∩ (B × D ). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4]. (기수 의 곱의 정의)
|
A
×
B
|
=
|
A
|
|
B
|
{\displaystyle |A\times B|=|A||B|}
(기수 의 거듭제곱의 정의)
|
A
B
|
=
|
A
|
|
B
|
{\displaystyle |A^{B}|=|A|^{|B|}}
∅
×
A
=
A
×
∅
=
∅
{\displaystyle \varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing }
(교환 법칙 의 실패)
A
×
B
≠
B
×
A
(
A
,
B
≠
∅
,
A
≠
B
)
{\displaystyle A\times B\neq B\times A\qquad (A,B\neq \varnothing ,\;A\neq B)}
그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수
(
a
,
b
)
↦
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)\mapsto (b,a)}
(결합 법칙 의 실패)
(
A
×
B
)
×
C
≠
A
×
(
B
×
C
)
(
A
,
B
,
C
≠
∅
)
{\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)\qquad (A,B,C\neq \varnothing )}
그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수
(
(
a
,
b
)
,
c
)
↦
(
a
,
(
b
,
c
)
)
{\displaystyle ((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))}
(분배 법칙 )
A
×
(
B
∪
C
)
=
(
A
×
B
)
∪
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}
(분배 법칙 )
A
×
(
B
∩
C
)
=
(
A
×
B
)
∩
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}
(분배 법칙 )
A
×
(
B
∖
C
)
=
(
A
×
B
)
∖
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}
∏
i
∈
I
⋃
j
∈
J
A
i
j
⊇
⋃
j
∈
J
∏
i
∈
I
A
i
j
{\displaystyle \prod _{i\in I}\bigcup _{j\in J}A_{ij}\supseteq \bigcup _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}}
∏
i
∈
I
⋂
j
∈
J
A
i
j
=
⋂
j
∈
J
∏
i
∈
I
A
i
j
{\displaystyle \prod _{i\in I}\bigcap _{j\in J}A_{ij}=\bigcap _{j\in J}\prod _{i\in I}A_{ij}}
다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리 가 필요하다.)
∏
i
∈
I
A
i
⊆
∏
i
∈
I
B
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}B_{i}}
A
i
=
∅
{\displaystyle A_{i}=\varnothing }
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
A
i
⊆
B
i
{\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}
다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리 가 필요하다.)
∏
i
∈
I
A
i
=
∅
{\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\varnothing }
A
i
=
∅
{\displaystyle A_{i}=\varnothing }
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
π
i
:
∏
i
∈
I
A
i
→
A
{\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}A_{i}\to A}
π
i
:
(
a
i
)
i
∈
I
↦
a
i
{\displaystyle \pi _{i}\colon (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{i}}
(보편 성질 ) 임의의 첨수된 함수족
{
f
i
:
B
→
A
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{f_{i}\colon B\to A_{i}\}_{i\in I}}
f
i
=
π
i
∘
f
{\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
f
:
B
→
∏
i
∈
I
A
i
{\displaystyle f\colon B\to \prod _{i\in I}A_{i}}
데카르트 좌표 평면
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
{
1
,
2
}
×
{
3
,
4
,
5
}
=
{
(
1
,
3
)
,
(
1
,
4
)
,
(
1
,
5
)
,
(
2
,
3
)
,
(
2
,
4
)
,
(
2
,
5
)
}
{\displaystyle \{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}}
R
2
=
R
×
R
=
{
(
x
,
y
)
|
x
,
y
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}
R
3
=
R
×
R
×
R
=
{
(
x
,
y
,
z
)
|
x
,
y
,
z
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb {R} \}}
![y축에 A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것](/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartDistr_svg.svg)
![x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것](/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartUnion_svg.svg)
![x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것](/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartInts_svg.svg)
