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집합 {x, y, z}와 집합 {1, 2, 3}의 곱집합의 원소를 나열한 표
집합 A = {x, y, z}와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B.
52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것
52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 {♠, , ♣, }과 숫자의 집합 {2, ..., 10, J, Q, K, A}의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서, 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트[*])는 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 이다.

목차

정의편집

첨수족  의 곱집합  는 다음과 같다.

 

특히, 유한 개의 집합  의 곱집합  은 다음과 같다.

 

집합  에 대하여,   번 곱집합  는 다음과 같다.

 

특히, 집합  순서수  에 대하여,   번 곱집합  는 다음과 같다.

 

특히, 집합   및 음이 아닌 정수  에 대하여,   번 곱집합  은 다음과 같다.

 

성질편집

 
분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].
 
(AB) × (CD) ⊋ (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].
 
(AB) × (CD) = (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].
  • (기수의 곱의 정의)  
  • (기수의 거듭제곱의 정의)  
  •  
  • (교환 법칙의 실패)  
    • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수  가 존재한다.
  • (결합 법칙의 실패)  
    • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수  가 존재한다.
  • (분배 법칙)  
  • (분배 법칙)  
  • (분배 법칙)  
  •  
  •  
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
    •  
    •   가 존재하거나, 임의의  에 대하여  이다.
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
    •  
    •   가 존재한다.
  • 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
     
     
  • (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족  에 대하여,   ( )를 만족시키는 유일한 함수  가 존재한다.

편집

 
직교 좌표 평면  실수선  과 자기 자신의 곱집합이다.
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역사편집

르네 데카르트의 이름을 땄다.

외부 링크편집