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군론에서, 번사이드 정리(영어: Burnside theorem)는 크기의 소인수가 두 개 이하인 군은 가해군이라는 정리다.

정의편집

번사이드 정리에 따르면, 유한군  의 크기가 다음과 같은 꼴이라면  가해군이다.

 

여기서   소수이며,   은 음이 아닌 정수이다.

역사편집

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1895년에 이 정리를   꼴의 군에 대하여 증명하였다.[1] 카미유 조르당은 이 정리를   꼴에 대하여 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인   꼴의 군에 대하여 증명하였다.[2]

증명편집

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.

  1. 수학적 귀납법을 사용하여,  인 유한 단순군  순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군  가 순환군이 아니라고 가정하자.
  2.  인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 ( 인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서  이라고 놓자.
  3. 켤레류 공식(영어: class equation)에 따라서,   에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서,  가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가  인 켤레류를 갖는다 ( ) 전자는  가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를  라고 하자.
  4. 지표의 직교성을 사용하여,   의 기약 지표  가 존재한다.
  5.  는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현충실한 표현이며,  중심자명군이므로, 따라서  이라면  이어야 한다. 이는 모순이다.

참고 문헌편집

  1. Frobenius, Georg (1895). “Über auflösbare Gruppen II”. 《Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin》 (독일어): 1027–1044. 
  2. Burnside, William. 《Theory of Groups of Finite Order》 (영어). JFM 40.0183.02.