p-군

군론에서 p-군(영어: p-group)은 모든 원소의 위수가 소수 $p$의 거듭제곱인 군이다.

정의

$p$가 소수라 하자. $p$-군은 모든 원소의 위수가 소수 $p$의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 $G$의 모든 원소 $g\in G$에 대하여,

$g^{p^{n(g)}}=1$

인 $n(g)\in \mathbb {N}$이 존재할 경우, $G$를 $p$-군이라고 한다.

성질

유한 $p$-군의 크기는 항상 $p$의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 $p$의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$-군이다.

번사이드 정리에 따라, 유한 $p$-군은 항상 가해군이다.

자명군이 아닌 유한 $p$-군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.

분류

유한 $p$-군은 크기 $p^{n}$에 따라 분류할 수 있다. $n\leq 6$인 경우는 모두 분류되었고, $n\geq 7$인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.

n=logp|G|	아벨 p-군	비아벨 p-군
0	자명군 1	(없음)
1	순환군 $\mathbb {Z} /p$	(없음)
2	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}$, $\mathbb {Z} /p^{2}$	(없음)
3 ($p>2$)	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 3}$, $\mathbb {Z} /p^{2}\oplus \mathbb {Z} /p$, $\mathbb {Z} /p^{3}$	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}\rtimes \mathbb {Z} /p$, $(\mathbb {Z} /p^{2})\rtimes \mathbb {Z} /p$
3 ($p=2$)	($p>2$인 경우와 동일)	정이면체군 $\operatorname {Dih} _{4}$, 사원수군 $Q_{8}$

참고 문헌

• Hall, Philip (1940). “The classification of prime-power groups”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 182 (182): 130–141. doi:10.1515/crll.1940.182.130. ISSN 0075-4102. MR 0003389. 
• Leedham-Green, C. R.; Susan McKay (2002). 《The structure of groups of prime power order》. London Mathematical Society Monographs (New Series) (영어) 27. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853548-5. MR 1918951. 
• Sims, Charles (1965). “Enumerating p-groups”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (Third Series)》 (영어) 15: 151–166. doi:10.1112/plms/s3-15.1.151. MR 0169921. 

외부 링크

• “p-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “p-group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.