군 표현의 지표

군 위에 정의되는 유함수의 하나로, 군 표현의 대각합

군 표현론에서, 군 표현지표(指標, 영어: character 캐릭터[*])는 공액류에 대한, 표현 행렬의 대각합유함수이다.

정의 편집

 이고,    에 대한 벡터 공간이고,  군 표현이라고 하자.  공액류의 집합을  로 쓰자. 그렇다면 표현  지표  는 다음과 같은 함수다.

 . ( ,   공액류)

성질 편집

표현  의 차원은  이다.

지표는 군 표현의 직합텐서곱을 준수한다. 즉,

 
 

이다.

표현의 텐서 제곱  는 다음과 같이 대칭반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

 .

이 경우,

 
 

이다.

복소수 벡터 공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

 .

여기서  는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고,   복소켤레이다.

역사 편집

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다.[1] 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.

참고 문헌 편집

  1. Frobenius, F. G. (1896). “Über Gruppencharaktere”. 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 (독일어): 985-1021. 
  • Isaacs, I.M. (1994). 《Character Theory of Finite Groups》. Dover. ISBN 0-486-68014-2. 
  • James, Gordon; Martin Liebeck (2001). 《Representations and Characters of Groups》 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. 
  • Serre, Jean-Pierre (1977). 《Linear Representations of Finite Groups》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6. 

같이 보기 편집

외부 링크 편집