베셀 부등식

함수해석학에서, 베셀 부등식(Bessel不等式, 영어: Bessel’s inequality)은 내적 공간 속의 벡터의 정규 직교 수열에 대한 계수가 만족시키는 부등식이다.

정의편집

실수체 또는 복소수체   위의 내적 공간   속의 정규 직교 집합  가 주어졌다고 하자. 베셀 부등식에 따르면, 임의의 벡터  에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:99[2]:82[3]:83[4]:508–509

 

(특히,   는 오직 가산 개만이 존재한다.)

증명:

만약  가 유한 집합이라면, 내적의 쌍선형성과 정규 직교 집합의 정의에 따라 자명하게 성립한다.

만약  가 (가산 또는 비가산) 무한 집합이라면, 베셀 부등식은 다음과 같이 얻을 수 있다. 임의의 유한 집합  에 대하여,

 

만약  힐베르트 공간일 경우, 베셀 부등식에서 항등식이 성립할 필요 충분 조건은   정규 직교 기저인 것이며, 이를 파르스발 항등식이라고 한다. 이 경우 항상

 

이다. 반면, 만약  정규 직교 기저가 아닐 경우 위 급수는 (베셀 부등식에 따라 부분합이 코시 열이므로) 수렴하지만, 합이  가 아닐 수 있다.

역사편집

프리드리히 베셀의 이름을 땄다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 
  2. Saxe, Karen (2001년 12월 7일). 《Beginning Functional Analysis》 (영어). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387952246. 
  3. Vetterli, Martin; Kovačević, Jelena; Goyal, Vivek K. (2014년 9월 4일). 《Foundations of Signal Processing》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9781139916578. 
  4. Zorich, Vladimir A.; Cooke, R. (2004년 1월 22일). 《Mathematical Analysis II》 (영어). Springer Science & Business Media. ISBN 9783540406334. 

외부 링크편집