파르스발 항등식

함수해석학에서, 파르스발 항등식(Parseval恒等式)은 푸리에 급수의 수렴성에 관한 중요한 결과이다. 수학자 마르크앙투안 파르스발의 이름을 땄다. 기하학적 관점에서 파르스발 항등식은 내적 공간에서의 피타고라스 정리로 볼 수 있다.

$H$ 가 힐베르트 공간이라 하고, $B=\{e_{1},e_{2},...\}$ 가 $H$ 의 정규 직교 기저라 하자. 그러면 임의의 $x\in H$ 에 대해 다음이 성립한다.

\sum _{e\in B}\left\vert \left\langle x,e\right\rangle \right\vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}.

피타고라스 정리에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 정규 직교 기저로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.

보다 일반적으로, 파르스발 항등식은 $H$ 가 내적 공간이고 $B$ 의 선형생성이 $H$ 에서 조밀한 경우에도 성립한다. $B$ 가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 베셀 부등식이 성립한다.

푸리에 급수

구체적인 예로, 힐베르트 공간 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 와 정규 직교 기저 $\{e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}$ 를 생각해 보자. 함수 $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 의 푸리에 계수를

c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx

라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.

\Vert f\Vert ^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}

(영어) “Parseval equality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
(영어) Parseval's Theorem 파르스발 항등식에 대한 매스월드 문서.