변형 수축

호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i\colon A\hookrightarrow X$에 대하여, 만약 연속 함수 $r\colon X\to A$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $r$를 $X$에서 $A$로의 약한 변형 수축이라고 한다.

• $r\circ i=\operatorname {id} _{A}$
• $i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

${\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq &\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h\colon X\times [0,1]\to A$가 존재하여야 한다.

$h(x,0)=x\qquad \forall x\in X$

$h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X$

$h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X$

$r(a)=a\qquad \forall a\in A$

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i\colon A\hookrightarrow X$에 대하여, 만약 연속 함수 $r\colon X\to A$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $r$를 $X$에서 $A$로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.^:2:361

• $r\circ i=\operatorname {id} _{A}$
• $i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}\quad (\operatorname {rel} A)$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

${\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq \operatorname {rel} A&\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h\colon X\times [0,1]\to A$가 존재하여야 한다.

$h(x,0)=x\qquad \forall x\in X$

$h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X$

$h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X$

$h(a,t)=a\qquad \forall a\in A,\;t\in [0,1]$

성질

위상 공간 $X$의 약한 변형 수축 $A\subseteq X$가 주어졌을 때, $A$는 $X$와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간 $X$ 및 $Y$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:16, Corollary 0.21}

• $X$와 $Y$가 (강하게) 호모토피 동치이다.
• 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 약한 변형 수축이다.
• 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 축약 가능 공간이다.
• $\{x\}$가 $X$의 약한 변형 수축을 이루는 $x\in X$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^{:18, Exercise 0.6b, 0.7}

예

원점을 제거한 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$의 부분 공간인 $n-1$차원 초구

$S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\colon \|\mathbf {x} \|=1\}$

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

$h\colon \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\right)\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

$h\colon (\mathbf {x} ,t)\mapsto \|\mathbf {x} \|^{-t}\mathbf {x}$

역사

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Deformation retract”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Strong deformation retract”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Deformation retract”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 수축 (범주론)
• 호모토피 동치