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호모토피 이론에서, 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

정의편집

위상 공간  부분 공간  에 대하여, 만약 연속 함수  가 다음 두 조건을 만족시킨다면,   에서  로의 약한 변형 수축이라고 한다.

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즉, 그림으로는 다음과 같다.

 

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피  가 존재하여야 한다.

 
 
 
 

위상 공간  부분 공간  에 대하여, 만약 연속 함수  가 다음 두 조건을 만족시킨다면,   에서  로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.[1]:2[2]:361

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즉, 그림으로는 다음과 같다.

 

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피  가 존재하여야 한다.

 
 
 
 

성질편집

위상 공간  의 약한 변형 수축  가 주어졌을 때,   와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간   에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:16, Corollary 0.21

  •   가 (강하게) 호모토피 동치이다.
  • 어떤 위상 공간   및 포함 사상   에 의하여,   는 둘 다  의 약한 변형 수축이다.
  • 어떤 위상 공간   및 포함 사상   에 의하여,   는 둘 다  의 강한 변형 수축이다.

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  축약 가능 공간이다.
  •   의 약한 변형 수축을 이루는  가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.[1]:18, Exercise 0.6b, 0.7

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원점을 제거한 유클리드 공간  의 부분 공간인  차원 초구

 

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

 
 

역사편집

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 
  2. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  3. Borsuk, Karol (1931). “Sur les rétractes”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 17 (1): 152–170. ISSN 0016-2736. JFM 57.0729.04. Zbl 0003.02701. 

외부 링크편집

같이 보기편집