부랄리포르티 역설

집합론에서 부랄리포르티 역설(영어: Burali-Forti paradox)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 순서수의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 증명한다.

정의

존 폰 노이만을 따라서, 순서수 $\omega$를 $\omega$보다 작은 순서수들의 집합으로 정의하자. 예를 들어, $0=\varnothing$, $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}$ 따위이다.

모든 순서수의 모임 ${\text{On}}$이 집합이라고 하자. 그렇다면 $\operatorname {On}$ 자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 ${\text{On}}+1$이 존재하고, 이는 ${\text{On}}$보다 크다. 그러나, ${\text{On}}$은 모든 순서수를 포함하므로 ${\text{On}}+1$도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.

${\text{On}}<{\text{On}}+1<{\text{On}}$

따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

역사

체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Burali-Forti paradox”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 칸토어 역설
• 러셀의 역설