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집합론에서, 칸토어 역설(영어: Cantor’s paradox)은 소박한 집합론역설의 하나이며, 모든 집합들의 모임집합을 이룰 수 없다는 것을 보인다.

목차

정의편집

칸토어 역설은 다음과 같은 역설이다. 모든 집합들의 모임  집합이라고 가정하자. 그렇다면, 그 크기를 나타내는 기수

 

를 정의할 수 있다. 그렇다면 칸토어의 정리에 따라서

 

이다. 그러나

 

이므로,

 

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 집합의 모임  고유 모임이다.

기수의 모임편집

한편, 기수들의 모임  집합이라고 가정하자. 그렇다면, 그 크기를 나타내는 기수

 

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 칸토어의 정리에 따라서

 

이다. 그러나

 

이므로,

 

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임  고유 모임이다.

역사편집

게오르크 칸토어가 1890년대에 발견하였다.

같이 보기편집

외부 링크편집