부분 수열

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수학에서, 부분 수열(部分數列, 영어: subsequence) 또는 부분열(部分列)은 주어진 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

정의편집

집합   위의 두 수열  ,   ( )이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수  이 존재한다면, 수열  이 수열  의 부분 수열이라고 한다.

  •  순증가 함수이다. 즉, 임의의 자연수  에 대하여,  이다.
  • 임의의 자연수  에 대하여,  

성질편집

순서론적 성질편집

집합   위의 수열들의 집합   위에서, 부분 순서 관계는 원순서를 이룬다.[1]:150, §6.6, Lemma 6.6.4 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약  의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 부분 순서가 아니며, 동치 관계도 아니다.[1]:152, §6.6, Exercise 6.6.2 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열

 
 

은 서로의 부분 수열이다.

해석학적 성질편집

위상 공간   위의 수열  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 수렴한다.
  • 모든 부분 수열이 수렴한다.

위상 공간   위의 수열   및 점   대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   로 수렴한다.
  •  의 모든 부분 수열   로 수렴한다.
  •  의 모든 부분 수열   로 수렴하는 부분 수열  을 갖는다.[2]:80, §2.6, Exercise 2.37, (a)

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 (볼차노-바이어슈트라스 정리).

편집

음이 아닌 정수의 열  은 음이 아닌 짝수의 열  을 한 부분 수열로 갖는다.

각주편집

  1. Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 
  2. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크편집