부분 수열

수학에서 부분 수열(部分數列, 영어: subsequence) 또는 부분열(部分列)은 주어진 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

정의

집합 $X$ 위의 두 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ($x_{n},y_{n}\in X$)이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $n_{\bullet }\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$이 존재한다면, 수열 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$이 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$의 부분 수열이라고 한다.

• $n_{\bullet }$는 순증가 함수이다. 즉, 임의의 자연수 $k\in \mathbb {N}$에 대하여, $n_{k}<n_{k+1}$이다.
• 임의의 자연수 $k\in \mathbb {N}$에 대하여, $y_{k}=x_{n_{k}}$

성질

순서론적 성질

집합 $X$ 위의 수열들의 집합 $X^{\mathbb {N} }$ 위에서, 부분 순서 관계는 원순서를 이룬다.^{:150, §6.6, Lemma 6.6.4} 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약 $X$의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 부분 순서가 아니며, 동치 관계도 아니다.^{:152, §6.6, Exercise 6.6.2} 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열

$(0,1,0,1,\dots )$

$(1,0,1,0,\dots )$

은 서로의 부분 수열이다.

해석학적 성질

위상 공간 $X$ 위의 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 수렴한다.
• 모든 부분 수열이 수렴한다.

위상 공간 $X$ 위의 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X$ 및 점 $x\in X$ 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$은 $x$로 수렴한다.
• $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$의 모든 부분 수열 $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$은 $x$로 수렴한다.
• $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$의 모든 부분 수열 $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$은 $x$로 수렴하는 부분 수열 $(x_{n_{k_{j}}})_{j\in \mathbb {N} }$을 갖는다.^{:80, §2.6, Exercise 2.37, (a)}

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 (볼차노-바이어슈트라스 정리).

예

음이 아닌 정수의 열 $(0,1,2,3,\dots )$은 음이 아닌 짝수의 열 $(0,2,4,\dots )$을 한 부분 수열로 갖는다.

외부 링크

• “Subsequence”. 《PlanetMath》 (영어).