분배 이음 반격자
순서론에서 분배 이음 반격자(영어: distributive join-semilattice)와 분배 만남 반격자(영어: distributive meet-semilattice)는 분배 격자의 반격자 일반화이다.
정의 편집
이음 반격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 이음 반격자라고 한다.
마찬가지로, 만남 반격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 만남 반격자라고 한다.
증명:
이음 반격자 가 주어졌으며, 에 대하여, 만약 라면, 인 및 가 존재한다고 하자. 모든 이음 반격자의 순서 아이디얼 집합은 이음 반격자를 이룬다. 가정한 조건에 따라, 가 하향 집합을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서, 는 격자를 이룬다. 이제, 가 분배 격자임을 보이려면, 임의의 세 순서 아이디얼 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라
인 및 및 가 존재한다. 이므로, 인 및 가 존재한다. 이 경우 이며, 이므로 이다. 따라서,
이다.
반대로, 이음 반격자 에 대하여, 가 격자이며, 또한 분배 격자라고 하자. 또한, 이며, 라고 하자. 주 순서 아이디얼 을 생각하자. 분배 법칙에 따라,
이다. 특히,
인 및 가 존재한다. 이므로, 이다.
성질 편집
모든 분배 이음 반격자는 (공집합이 아니라면) 하향 집합이다. 모든 분배 만남 반격자는 (공집합이 아니라면) 상향 집합이다.[1]:167, Lemma 184(ii)
증명:
분배 이음 반격자 및 임의의 원소 가 주어졌다고 하자. 이므로, 인 및 가 존재한다. 또한, 이다. 따라서 은 와 의 하계이다.
분배 격자와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 모임은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 사실, 반격자들로 구성된 대수 구조 다양체는 분배 격자를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, 격자의 경우에 분배 격자와 일치할 수 없다).[2]
예 편집
참고 문헌 편집
- ↑ 가 나 다 Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.
- ↑ Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís (2021). 〈On distributive join semilattices〉. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. 《Algebraic Perspectives on Substructural Logics》. Trends in Logic (영어) 55. Cham: Springer. arXiv:1902.01656. doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288.